Prawdopodobieństwo zachodzenia nierówności zmiennych.

[MatXXX]

Dobry wieczór!
Mam wyliczone wzory na \(\displaystyle{ P(X=x)}\) i \(\displaystyle{ P(Y=y)}\), zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są dyskretne i niezależne. Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ P(X \ge 4Y) \le \frac{2}{3}}\). Czy jest to równoważne ze stwierdzeniem, że \(\displaystyle{ P(X \ge k \wedge Y = \frac{k}{4})\le \frac{2}{3}}\)? A później mogę rozbić na iloczyn prawdopodobieństw, jakby zamiast nierówności przy \(\displaystyle{ X}\) była równość i dowieść tak otrzymanej nierówności dla każdego \(\displaystyle{ k}\)?

[Kartezjusz]

Jako, że \(\displaystyle{ k}\)może być dowolne musisz rozważyć sumę prawdopodobieństw

[MatXXX]

Kartezjusz, dowodzić, że \(\displaystyle{ P(X \ge k)+P(Y=\frac{k}{4})\le\frac{2}{3}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\)? Dlaczego?

[Medea 2]

Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie niesiona przez \(\displaystyle{ \{y_k : k \in \NN\}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ P(X \ge 4Y) = \sum_{k = 0}^\infty P(Y = y_k \wedge X \ge4 y_k) = \sum_{k = 0}^\infty P(Y = y_k) P( X \ge 4y_k)}\).