Iloczyn Funkcji Charakterystycznych

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 13 lut 2016, o 05:25

Hej,

Czy iloczyn funkcji charakterystycznych jest zawsze funkcją charakerystyczną?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 lut 2016, o 06:11

Jeśli chodzi o skończony iloczyn, to owszem. Jeśli chodzi o nieskończony, to może nie być.
Niech \(\displaystyle{ \phi_{n}(t)=e^{- \frac{t^{2}}{2} }}\). Wtedy \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty }\phi_{n}(t)= \begin{cases} 0, \text{ gdy } t\neq 0 \\ 1, \text{ gdy }t=0 \end{cases}}\). Nie wygląda to na funkcję charakterystyczną.

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 13 lut 2016, o 20:51

Jak wykazac ze iloczyn funkcji charakterystycznych jest funkcją charakterystyczną?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 lut 2016, o 21:25

Jeżeli \(\displaystyle{ \phi_{1}(t),...\phi_{n}(t)}\) są funkcjami charakterystycznymi pewnych rozkładów prawdopodobieństwa, to wystarczy wziąć niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}\sim \phi_{1}(t),...X_{n}\sim \phi_{n}(t)}\) i wówczas \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} \phi_{i}(t)}\) jest funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\). Ewentualnie można by zamiast tego spróbować użyć tw. Bochnera, ale to byłaby straszna sieczka.

A kiedy to się zgadza dla nieskończonego, to niestety nie wiem, na angielskiej wiki było to chyba wzmiankowane.

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Character

... _theory%29-- 13 lut 2016, o 21:29 --Swoją drogą ciekawe, czy ktokolwiek z własnej woli sprawdzał, czy jakaś funkcja jest funkcją charakterystyczną z tw. Bochnera? Warunek z dodatnią określonością jest tak paskudny, że od samego patrzenia człowiek ma ochotę się napić.

Matiks21 · Post autor: **Matiks21** » 14 lut 2016, o 22:18

zawsze mozna tak dobrać te zmienne zeby było do siebie niezależne?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 22:50