Wartość funkcji gęstości zmiennej losowej w punkcie
-
k3fe
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 20 gru 2011, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 14 razy
Wartość funkcji gęstości zmiennej losowej w punkcie
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny \(\displaystyle{ U(<2,6>)}\). Wyznaczyć wartość funkcji gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=-2X+1}\) w punkcie \(\displaystyle{ -10}\).
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wartość funkcji gęstości zmiennej losowej w punkcie
Sądzę, że najprościej będzie znaleźć po prostu gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=-2X+1}\). Oczywistym jest, że gdy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left\langle 2,6\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ -2X+1}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left\langle -3,-11\right\rangle}\). I stąd mamy odpowiedź. A jeśli ktoś nie lubi rozwiązań poprzez "oczywistym jest" (w sumie dla różnych ludzi różne rzeczy są oczywiste/nieoczywiste), to odpowiednie rachunki można przeprowadzić na dystrybuancie, jeśli nie pamięta się gotowego wzoru.
\(\displaystyle{ F_{Y}(y)=\mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(-2X+1 \le y)=\mathbf{P}\left(X \ge \frac{1-y}{2} \right)= 1-\mathbf{P}\left(X< \frac{1-y}{2}\right)= \begin{cases}0, \text{ gdy }y \le -11 \\ 1+ \frac{y+3}{8}, \text{ gdy }y \in (-11,-3) \\ 1, \text{ gdy } y \ge -3\end{cases}}\)
Różniczkując dystrybuantę po \(\displaystyle{ y}\), otrzymasz gęstość. Skorzystałem z tego, że dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ \left\langle 2,6\right\rangle}\) to \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases}0 \text{ dla } x<2 \\ \frac{x-2}{4} \text{ dla } x \in\left\langle 2,6\right\rangle\\ 1 \text{ dla } x>6\end{cases}}\).
-- 8 lut 2016, o 19:14 --
A wynika to z ogólniejszej prawidłowości:
9 lut 2016, o 02:41 --Rany, przecież odcinek \(\displaystyle{ \left\langle -3,-11\right\rangle}\) to zbiór liczb nie mniejszych niż -3 i zarazem nie większych niż -11, czyli zbiór pusty. Oczywiście chodziło mi o \(\displaystyle{ \left\langle -11,-3\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ F_{Y}(y)=\mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(-2X+1 \le y)=\mathbf{P}\left(X \ge \frac{1-y}{2} \right)= 1-\mathbf{P}\left(X< \frac{1-y}{2}\right)= \begin{cases}0, \text{ gdy }y \le -11 \\ 1+ \frac{y+3}{8}, \text{ gdy }y \in (-11,-3) \\ 1, \text{ gdy } y \ge -3\end{cases}}\)
Różniczkując dystrybuantę po \(\displaystyle{ y}\), otrzymasz gęstość. Skorzystałem z tego, że dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ \left\langle 2,6\right\rangle}\) to \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases}0 \text{ dla } x<2 \\ \frac{x-2}{4} \text{ dla } x \in\left\langle 2,6\right\rangle\\ 1 \text{ dla } x>6\end{cases}}\).
-- 8 lut 2016, o 19:14 --
A wynika to z ogólniejszej prawidłowości:
9 lut 2016, o 02:41 --Rany, przecież odcinek \(\displaystyle{ \left\langle -3,-11\right\rangle}\) to zbiór liczb nie mniejszych niż -3 i zarazem nie większych niż -11, czyli zbiór pusty. Oczywiście chodziło mi o \(\displaystyle{ \left\langle -11,-3\right\rangle}\)