Zamiana zmiennej losowej

[mtps]

Zmienna losowa ma dystr. F(x). Znaleźć dystrybuanty zmiennych losowych. np \(\displaystyle{ $Y_1 = X^3, Y_2 = X^2, Y_3 = |X|, Y_4 = arcsin(X), Y_5 = sin(X)$}\)
Wyznaczyć gęstości dystrybuant zmiennych Y jeżeli: \(\displaystyle{ $F(x) = e^{(-e^{-x})}$}\)
Czy zawsze da się wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y?
Jak się do tego ma warunek odwracalności funkcji?
Dystrybuanta ma być odwracalna czy gęstość czy funkcja h(x) przekształcająca zmienną losową X na Y?
Gęstość np. dla \(\displaystyle{ Y_2 = X^2}\) to \(\displaystyle{ f_y(y)=e^{-y^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}e^{-y^{\frac{1}{2}}}}\) na przedziale (0,1)?
Przedział gęstości dla x jest \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) ale dla y jest \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\)?

[Kartezjusz]

W książce Jakubowskiego - Sztencla fajnie to twierdzenie pokazano. transformacje muszą być kawałkami gładkie.