Przekształcenie z liczb o jednorodnym rozkładzie

[Hubu999]

Cześć!
Prosze o pomoc z nastepującym zadaniem:

Zaproponuj przekształcenie prowadzące z liczb o jednorodnym rozkładzie prawdopodobieństwa na przedziale \(\displaystyle{ <0,1>}\) do rozkładu z \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{(2x+2)}}\) dla \(\displaystyle{ 2<x<3}\), \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\).
Znajdz wartość a.

frac{a}{(2x+2)}

[isiedem]

Również nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. Potrafi ktoś to rozwiązać?

[Premislav]

Stałą \(\displaystyle{ a}\) można łatwo wyznaczyć:
ma być \(\displaystyle{ 1= \int_{2}^{3} \frac{a}{2x+2}dx}\), a więc \(\displaystyle{ a= \frac{2}{\ln \frac 4 3}}\).
Dalej wyciągam z pupy coś takiego: niech \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{U}_{(0,1)}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(3\exp \left(\ln \left( \frac{4}{3} \right) \cdot X \right)-1 \le x \right)= \begin{cases} 0, \text{ gdy } x \le 2 \\ \frac{\ln \left( \frac{x+1}{3} \right)}{\ln \frac 4 3}, \text{ gdy }x \in (2,3) \\ 1, \text{ gdy }x \ge 3\end{cases}}\)
Może to się do czegoś nadaje.-- 8 lut 2016, o 08:15 --Aha, ta dziadowa funkcja klamerkowa po prawej to dystrybuanta zmiennej o gęstości takiej jak ta z zadania. Znalazłem ją, po prostu całkując gęstość.

[isiedem]

Mógłbyś wytłumaczyć krok po kroku co tu się dzieje?

[Kartezjusz]

Było twierdzenie o przekształceniu rozkładu przez funkcje gładkie.

[Premislav]

OK, tak skrótowo:
1. Znajduję stałą \(\displaystyle{ a}\). Oczywiście musi być \(\displaystyle{ a>0}\), inaczej funkcja nie byłaby gęstością. Zatem \(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \frac{dx}{2x+2}= \frac{1}{a}}\), taką całkę raczej umiesz policzyć (pochodna logarytmu itp.).
2. Znajduję dystrybuantę rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \frac{(\ln \frac 4 3)^{-1}}{x+1}}\) dla \(\displaystyle{ x\in (2,3)}\), całkując gęstość: niech \(\displaystyle{ T}\) będzie tą zmienną losową o gęstości \(\displaystyle{ f}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(T \le t)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t \le 2\\ \int_{2}^{t} \frac{(\ln \frac 4 3)^{-1}}{s+1} ds \text{ gdy } t\in(2,3) \\1 \text{ gdy } t \ge 3 \end{cases}}\)
3. Znajduję odpowiednie przekształcenie dystrybuanty rozkładu jednostajnego. Jak wiadomo dla \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{U}_{(0,1)}}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le x)=x}\), a więc \(\displaystyle{ \mathbf{P}(e^{X} \le x)= \begin{cases} 0, x \le 1 \\ \ln x, x \in(1,e)\\ 1, x \ge e\end{cases}}\). I dalej doszlifowujemy przez dodanie odpowiednich stałych i pomnożenie przez nie. W skiążce Jakubowskiego i Sztencla powinno to być.
Ja szczerze powiedziawszy nie pamiętam tego twierdzenia.

[Kartezjusz]

Ja też, ale wiem, że to zadanie rozpykałoby w minutę.