Obliczenie gęstości mając daną dystrybuantę

Empeg · Post autor: **Empeg** » 6 lut 2016, o 23:26

Witajcie.
Mam daną dystrybuantę:

\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \text{ dla } x \le 1\\ 2(1- \frac{1}{x})\text { dla } 1 < x \le 2\\1 \text{ dla } x > 2\end{cases}}\)

Z tego chciałbym wyznaczyć gęstość, ale nie mam pojęcia jak będą wyglądały dane całki. Nie zależy mi na wyniku, jedynie chciałbym ruszyć do przodu z miejsca, w którym stoję.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 lut 2016, o 23:32

Od razu można zauważyć, że nośnikiem gęstości będzie \(\displaystyle{ (1,2]}\)(albo \(\displaystyle{ [1,2]}\), bądź \(\displaystyle{ (1,2)}\)czy \(\displaystyle{ [1,2)}\) - to bez różnicy w sumie), bo dla mniejszych dystrybuanta jest zerowa (dystrybuanta dla rozkładu ciągłego to całka z gęstości), a dla większych się nie zmienia. Gęstość jest nieujemna, a gdy całka po jakimś zbiorze z funkcji nieujemnej jest zerowa, to ta funkcja jest równa zero prawie wszędzie w tym zbiorze. Dla \(\displaystyle{ x \in (1,2]}\) zróżniczkuj dystrybuantę, a dostaniesz gęstość.

Empeg · Post autor: **Empeg** » 6 lut 2016, o 23:54

Dziękuję za odpowiedź. Mógłbym prosić o bardziej matematyczny zapis? Albo poprzez różniczkowanie nie wiem co masz na myśli, albo tego nie miałem.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 lut 2016, o 23:58

Nie miałeś liczenia pochodnych?? Weź pan funkcję \(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \text{ dla } x \le 1\\ 2(1- \frac{1}{x})\text { dla } 1 < x \le 2\\1 \text{ dla } x > 2\end{cases}}\) i policz jej pochodną w zależności od \(\displaystyle{ x}\). Gdzieś wyjdzie zero, a gdzies po prostu pochodna z \(\displaystyle{ 2(1- \frac{1}{x})}\).

Empeg · Post autor: **Empeg** » 7 lut 2016, o 00:07

Miałem, miałem. Już rozumiem. Dziękuję za pomoc.