Wariancja, rozkład wykładniczy

[k3fe]

Dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ X}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0\ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ x<0\\ \ln(x)\ \ \ dla\ \ \ 0 \le x<e\\1\ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ x>e \end{array}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ VarX}\) jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda= \sqrt{2}}\).

Proszę o jakieś nakierowanie, schemat działania. Znalazłem w kompendium wzory na rozkład wykładniczy, ale mimo to nie potrafię rozwiązać zadania.

[Premislav]

Treść zadania jest upośledzona jak nie wiem, ta podana funkcja to taka dystrybuanta, jak ze mnie śpiewak operowy, przecież dla małych \(\displaystyle{ x}\) toto przyjmuje wartości ujemne. Już nie mówiąc o tym, że powodzenia w wyliczeniu \(\displaystyle{ \ln(0)}\). Może pominę tę całą niby-dystrybuantę i zacznę czytać zadanie od tego momentu:

Oblicz \(\displaystyle{ VarX}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{E}xp(\sqrt{2})}\), to gęstość \(\displaystyle{ X}\) ma postać \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}\mathbf{1}_{[0,+\infty)}(x)}\) (t jedyneczka to to jest indykator zbioru), a zatem \(\displaystyle{ \mathbf{Var}X=\mathbf{E}[X^{2}]-(\mathbf{E}X)^{2}= \int_{0}^{+\infty}\sqrt{2}x^{2}e^{-\sqrt{2}x}\mbox{d}x- \left(\int_{0}^{+\infty} \sqrt{2}xe^{-\sqrt{2}x}\mbox{d}x \right)^{2}}\). Policz te całeczki przez części, korzystając z własności \(\displaystyle{ \exp(\alpha x}}\) i masz wynik. Skorzystałem z tego, że gdy \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową ciągłą o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), a \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest funkcją borelowską, to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\varphi(X)= \int_{\RR}^{}\varphi(x)f(x)\mbox{d}x}\).
Można też to łatwo sklepać z użyciem funkcji tworzącej momenty, czyli transformaty Laplace'a rozkładu, ale wątpię, byś ją znał, skoro wydajesz się być początkującym w tym temacie.

-- 6 lut 2016, o 21:59 --

Ale chętnie się dowiem, jaki związek ma ten paskudź z dalszą częścią treści zadania.

[k3fe]

Kolega przepisywał treść, może rzeczywiście nie do końca jest ok To jest całość zadania.
Nie będę ukrywał, że jestem początkujący, nie studiuję też matematyki. Policzę całeczki, dziękuję za pomoc