Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
chrumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 1 lut 2013, o 22:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: chrumek »

Mam proste doświadczenie, polegające na dwukrotnym rzucie kostką. \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę uzyskanych jedynek, a \(\displaystyle{ Y}\) liczbę uzyskanych dwójek. Próbuję narysować tabelkę rozkładu.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c}
\hline
XY & 0 & 1 & 2 \\ \hline
0 & . & . & . \\ \hline
1 & . & . & .\\ \hline
2 & . & . & . \\ \hline
\end{tabular}}\)


Mam problem z wyliczeniem tych prawdopodobieństw. Np.

\(\displaystyle{ p_{11}=P(X=1, Y=1)}\) Czyli interesuje mnie p-stwo, że przy dwóch rzutach kostką, ilość wyrzuconych jedynek będzie równa \(\displaystyle{ 1}\) i ilość wyrzuconych dwójek również będzie wynosiła \(\displaystyle{ 1}\).

Istnieją wg mnie dwie takie możliwości, w której będę miał jedną jedynkę i jedną dwójkę jako wynik.
a) Jedynka za pierwszym rzutem, dwójka przy drugim rzucie
b) Dwójka za pierwszym razem, jedynka za drugim razem.

Ale jak policzyć to prawdopodobieństwo to nie wiem.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: robertm19 »

Bardzo prosto, wszystkich możliwości masz 36. Zatem każda mozliwość to 1/36.
chrumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 1 lut 2013, o 22:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: chrumek »

Czyli uważasz, że \(\displaystyle{ p_{11}=1/36}\)

Chyba nie...

Możesz przedstawić swój tok rozumowania?
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: robertm19 »

chrumek pisze:Czyli uważasz, że \(\displaystyle{ p_{11}=1/36}\)

Chyba nie...

Możesz przedstawić swój tok rozumowania?
Nie, nie uważam tak. Tak jak napisałeś \(\displaystyle{ p_{11}}\) to 2/36, sam napisałes o dwóch możliwościach.
chrumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 1 lut 2013, o 22:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: chrumek »

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c} \hline XY & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 16/36 & 5/36 & 1/36 \\ \hline 1 & 5/36 & 2/36 & 0\\ \hline 2 & 1/36 & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular}}\)

Coś mi się brzegi do 1 nie sumują. Możesz sprawdzić, które prawdopodobieństwo źle policzyłem?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: Jan Kraszewski »

A to \(\displaystyle{ \frac{5}{36}}\) to skąd?

JK
chrumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 1 lut 2013, o 22:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: chrumek »

Ok. Szukam \(\displaystyle{ P(X=1,Y=0)}\) Wypada dokładnie jedna jedynka i dwójka nie wypada wcale.

Zdarzeń sprzyjających temu, że wynikiem losowania będzie dokładnie jedna jedynka jest łącznie \(\displaystyle{ 11}\). Wynik \(\displaystyle{ 1-1}\) licze jako jedną możliwość, nie wiem czy prawidłowo. Tj.

* W pierwszym rzucie losuję 1, a w drugim cokolwiek.
* W pierwszym rzucie wypada cokolwiek, ale w drugim dostaję 1

Z powyższych usuwam te w których:

* występuje dwójka w pierwszym, albo w drugim rzucie. Aby uczynić zadość drugiemu warunkowi, czyli braku dwójki. Ostatecznie usuwam dwa wyniki.
* losowanie w którym wypada jedynka za pierwszym razem i jedynka za drugim razem. Usuwam jeden wynik.

Łącznie \(\displaystyle{ 11-3 = 8}\). Zamiast \(\displaystyle{ 5/36}\), winno być \(\displaystyle{ 8/36}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rozkład p-stwa zmiennej dwuwymiarowej

Post autor: Jan Kraszewski »

I teraz wszystko się zgadza.

JK
ODPOWIEDZ