1. Układ zbudowany jest z trzech równolegle połączonych jednakowych elementów przewodzących prąd. Oblicz prawdopodobieństwo przewodzenia prądu w przedziale czasu t przez taki element, wiedząc, że prawdopodobieństwo nie przewodzenia całego układu w tym przedziale czasu wynosi p = \(\displaystyle{ \frac{1}{27}}\)
2. W zbiorze n elementów, 10% z nich jest typu "A", 40% typu "B", pozostałe zaś typu "C". Losujemy dwukrotnie bez zwracania po jednym elemencie. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy element jest typu "A", drugi zaś nie jest typu "B".
2 zadania z prawdopodobieństwa
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
2 zadania z prawdopodobieństwa
Zad. 1
Układ równoległy nie przewodzi prądu, gdy żaden z trzech elementów nie przewodzi prądu.
Czyli:
pierwszy element nie przewodzi i drugi nie przewodzi i trzeci nie przewodzi
\(\displaystyle{ x}\) - prawdopodobieństwo nieprzewodzenia prądu przez pojedynczy element
spójnik i - znak mnożenia
\(\displaystyle{ x\cdot x\cdot x=\frac1{27}\ \to \ x^3=\frac1{27}\ \to \ x=\sqrt[3]{\frac1{27}}\ \to \ x=\frac13}\)
\(\displaystyle{ 1-x}\) - prawdopodobieństwo przewodzenia prądu przez pojedynczy element
(korzystamy z własności zdarz. przeciwnego, stąd właśnie \(\displaystyle{ 1-x}\))
\(\displaystyle{ 1-x=1-\frac13=\boxed{\frac23}}\)
Odp. Prawdopodobieństwo przewodzenia prądu przez pojedynczy element układu jest równe \(\displaystyle{ \frac23}\).
Zad. 2
\(\displaystyle{ 0.1n}\) - elementy A
\(\displaystyle{ 0.4n}\) - elementy B
\(\displaystyle{ 0.5n}\) - elementy C
\(\displaystyle{ n-0.4n=0.6n}\) - elementy nie-B
Kolejność losowania ma znaczenie (bo pierwszy ma być A, a drugi nie-B)
\(\displaystyle{ \Omega=n\cdot (n-1)}\) - czyli pierwszy element losujemy na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, i drugi na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów (bo bez zwracania)
\(\displaystyle{ *}\) - zdarzenie, że pierwszy element A, a drugi nie-B
\(\displaystyle{ *=0.1n\cdot(0.6n-1)}\)
Pierwszy element musi być A, więc \(\displaystyle{ 0.1n}\) i drugi musi być nie-B
Elementów nie-B ogólnie jest \(\displaystyle{ 0.6n}\), ale po pierwszym losowaniu jeden element (A) już wylosowano, więc (do drugiego losowania) zostaje \(\displaystyle{ 0.6n-1}\) elementów nie-B
\(\displaystyle{ P(*)=\frac{*}{\Omega}=\frac{0.1n(0.6n-1)}{n(n-1)}=\frac{0.1(0.6n-1)}{n-1}=\frac{0.06n-0.1}{n-1}}\)
Układ równoległy nie przewodzi prądu, gdy żaden z trzech elementów nie przewodzi prądu.
Czyli:
pierwszy element nie przewodzi i drugi nie przewodzi i trzeci nie przewodzi
\(\displaystyle{ x}\) - prawdopodobieństwo nieprzewodzenia prądu przez pojedynczy element
spójnik i - znak mnożenia
\(\displaystyle{ x\cdot x\cdot x=\frac1{27}\ \to \ x^3=\frac1{27}\ \to \ x=\sqrt[3]{\frac1{27}}\ \to \ x=\frac13}\)
\(\displaystyle{ 1-x}\) - prawdopodobieństwo przewodzenia prądu przez pojedynczy element
(korzystamy z własności zdarz. przeciwnego, stąd właśnie \(\displaystyle{ 1-x}\))
\(\displaystyle{ 1-x=1-\frac13=\boxed{\frac23}}\)
Odp. Prawdopodobieństwo przewodzenia prądu przez pojedynczy element układu jest równe \(\displaystyle{ \frac23}\).
Zad. 2
\(\displaystyle{ 0.1n}\) - elementy A
\(\displaystyle{ 0.4n}\) - elementy B
\(\displaystyle{ 0.5n}\) - elementy C
\(\displaystyle{ n-0.4n=0.6n}\) - elementy nie-B
Kolejność losowania ma znaczenie (bo pierwszy ma być A, a drugi nie-B)
\(\displaystyle{ \Omega=n\cdot (n-1)}\) - czyli pierwszy element losujemy na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, i drugi na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów (bo bez zwracania)
\(\displaystyle{ *}\) - zdarzenie, że pierwszy element A, a drugi nie-B
\(\displaystyle{ *=0.1n\cdot(0.6n-1)}\)
Pierwszy element musi być A, więc \(\displaystyle{ 0.1n}\) i drugi musi być nie-B
Elementów nie-B ogólnie jest \(\displaystyle{ 0.6n}\), ale po pierwszym losowaniu jeden element (A) już wylosowano, więc (do drugiego losowania) zostaje \(\displaystyle{ 0.6n-1}\) elementów nie-B
\(\displaystyle{ P(*)=\frac{*}{\Omega}=\frac{0.1n(0.6n-1)}{n(n-1)}=\frac{0.1(0.6n-1)}{n-1}=\frac{0.06n-0.1}{n-1}}\)