2 zadania z prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Kwasu7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 2 lut 2016, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

2 zadania z prawdopodobieństwa

Post autor: Kwasu7 »

1. Układ zbudowany jest z trzech równolegle połączonych jednakowych elementów przewodzących prąd. Oblicz prawdopodobieństwo przewodzenia prądu w przedziale czasu t przez taki element, wiedząc, że prawdopodobieństwo nie przewodzenia całego układu w tym przedziale czasu wynosi p = \(\displaystyle{ \frac{1}{27}}\)

2. W zbiorze n elementów, 10% z nich jest typu "A", 40% typu "B", pozostałe zaś typu "C". Losujemy dwukrotnie bez zwracania po jednym elemencie. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy element jest typu "A", drugi zaś nie jest typu "B".
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

2 zadania z prawdopodobieństwa

Post autor: loitzl9006 »

Zad. 1
Układ równoległy nie przewodzi prądu, gdy żaden z trzech elementów nie przewodzi prądu.

Czyli:
pierwszy element nie przewodzi i drugi nie przewodzi i trzeci nie przewodzi

\(\displaystyle{ x}\) - prawdopodobieństwo nieprzewodzenia prądu przez pojedynczy element

spójnik i - znak mnożenia

\(\displaystyle{ x\cdot x\cdot x=\frac1{27}\ \to \ x^3=\frac1{27}\ \to \ x=\sqrt[3]{\frac1{27}}\ \to \ x=\frac13}\)

\(\displaystyle{ 1-x}\) - prawdopodobieństwo przewodzenia prądu przez pojedynczy element
(korzystamy z własności zdarz. przeciwnego, stąd właśnie \(\displaystyle{ 1-x}\))

\(\displaystyle{ 1-x=1-\frac13=\boxed{\frac23}}\)

Odp. Prawdopodobieństwo przewodzenia prądu przez pojedynczy element układu jest równe \(\displaystyle{ \frac23}\).

Zad. 2
\(\displaystyle{ 0.1n}\) - elementy A
\(\displaystyle{ 0.4n}\) - elementy B
\(\displaystyle{ 0.5n}\) - elementy C
\(\displaystyle{ n-0.4n=0.6n}\) - elementy nie-B

Kolejność losowania ma znaczenie (bo pierwszy ma być A, a drugi nie-B)

\(\displaystyle{ \Omega=n\cdot (n-1)}\) - czyli pierwszy element losujemy na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, i drugi na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów (bo bez zwracania)

\(\displaystyle{ *}\) - zdarzenie, że pierwszy element A, a drugi nie-B

\(\displaystyle{ *=0.1n\cdot(0.6n-1)}\)

Pierwszy element musi być A, więc \(\displaystyle{ 0.1n}\) i drugi musi być nie-B
Elementów nie-B ogólnie jest \(\displaystyle{ 0.6n}\), ale po pierwszym losowaniu jeden element (A) już wylosowano, więc (do drugiego losowania) zostaje \(\displaystyle{ 0.6n-1}\) elementów nie-B

\(\displaystyle{ P(*)=\frac{*}{\Omega}=\frac{0.1n(0.6n-1)}{n(n-1)}=\frac{0.1(0.6n-1)}{n-1}=\frac{0.06n-0.1}{n-1}}\)
ODPOWIEDZ