Błąd w rozumowaniu, dwuwymiarowy N(m,s) - krótkie pytanie

[musialmi]

Niech \(\displaystyle{ (X,Y)}\) będzie dwuwymiarowym wektorem o gęstości
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1}{6\pi} \exp \left( -\frac{5x^2+5y^2-8xy}{18}\right)}\)
Oblicz gęstość wektora\(\displaystyle{ (2X-Y,2Y-X)}\).

Wiem, że następujące rozwiązanie jest złe, ale nie wiem dlaczego:

Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(x,y)=f(y,x)}\), więc \(\displaystyle{ (X,Y)\mathop{=}^d (Y,X)}\) (równość według rozkładu). Dalej:

\(\displaystyle{ (2X-Y,2Y-X)=(2X,2Y)-(Y,X)=2(X,Y)-(Y,X)\mathop{=}^d 2(X,Y)-(X,Y)=(X,Y)}\)
Zatem \(\displaystyle{ (2X-Y,2Y-X) \mathop{=}^d (X,Y)}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) jest szukaną gęstością.

Gdzie ten błąd?

[Medea 2]

Twój rozkład jest normalny, ma zerową średnią, zaś jego macierz kowariancji to

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&4\\4&5\end{array}\right]}\).

Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \{2X - Y, 2Y - X\}}\) też ma rozkład normalny o zerowej średniej, ale innej kowariancji:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\-1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5&4\\4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&-1\\-1&2\end{array}\right]}\).

[musialmi]

Bardzo szybkie te wnioski, nie wiem czemu tak szybkie, ale ogólnie wiem skąd się biorą. Wiem skąd się biorą i wiem jak to zadanie zrobić, ale chciałbym się dowiedzieć gdzie jest nieprawda w tym, co napisałem w pierwszym poście.

[Medea 2]

Podejrzewam, że już w pierwszej równości, bo Twoje zmienne losowe są skorelowane.

[musialmi]

Nie, są niezależne i o rozkładzie normalnym, więc nie są skorelowane

[Medea 2]

Są skorelowane, bo macierz kowariancji nie jest diagonalna.

[musialmi]

Aha, bo to twierdzenie jest chyba w drugą stronę... Jeśli korelacja między zmiennymi normalnymi jest zero, to są niezależne. No to dziękuję