Witam! potrzebuje pomocy w rozwiązaniu takiego o to zadania:
\(\displaystyle{ X}\)~\(\displaystyle{ B(n,p)}\)
\(\displaystyle{ Y}\)~\(\displaystyle{ B(n,p)}\) , gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) niezależne.
Jaki rozkład ma \(\displaystyle{ X+Y}\)?
Czy dobrze myśle że należy wyznaczyć dystrybuante \(\displaystyle{ X+Y}\) ?
Funkcje wektorów losowych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcje wektorów losowych
Zapewne co kto lubi, ale ja bym zamiast tego pobawił się funkcjami charakterystycznymi.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X\sim B(n,p)}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \phi_{X}(t)=\mathbf{E}e^{itX}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}e^{ikt}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(pe^{it})^{k}(1-p)^{n-k}=\\=(pe^{it}+1-p)^{n}}\)
ze wzoru dwumianowego Newtona. Ponadto funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn funkcji charakterystycznych tych zmiennych, toteż skoro również \(\displaystyle{ Y\sim B(n,p)}\), to mamy \(\displaystyle{ \phi_{X+Y}(t)=(pe^{it}+1-p)^{2n}}\), a to jest funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ 2n, p}\).
Pozdrawiam.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X\sim B(n,p)}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \phi_{X}(t)=\mathbf{E}e^{itX}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}e^{ikt}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(pe^{it})^{k}(1-p)^{n-k}=\\=(pe^{it}+1-p)^{n}}\)
ze wzoru dwumianowego Newtona. Ponadto funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn funkcji charakterystycznych tych zmiennych, toteż skoro również \(\displaystyle{ Y\sim B(n,p)}\), to mamy \(\displaystyle{ \phi_{X+Y}(t)=(pe^{it}+1-p)^{2n}}\), a to jest funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ 2n, p}\).
Pozdrawiam.