Cześć. Mam do rozwiązania następujące zadanie. Zatrzymałem się w pewnym momencie, bo nie mogę zinterpretować, co za tym idzie, policzyć granicy.
Czastka porusza się po 5 punktach okręgu, które się oznaczone przez \(\displaystyle{ \{0; 1; 2; 3; 4\}}\). W każdym kroku cząstka porusza się w prawo (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) lub w lewo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p = q}\). Niech \(\displaystyle{ X_n}\) oznacza położenie cząstki w chwili \(\displaystyle{ n}\):
(a) Pokazać, że \(\displaystyle{ {X_n}}\) jest JŁM i znaleźć jego macierz prawdopodobieństw przejścia.
(b) Znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} {P(X_n = i)}\) jeżeli istnieje.
Rozw.:
(a) Pokazałem, że \(\displaystyle{ X_{n+1} = X_n +_{5} Z_n}\).
\(\displaystyle{ Z_n}\) - zm. los., która przyjmuje tylko \(\displaystyle{ {-1,1}}\). I korzystam z tw. o rekurencyjnej postaci JŁM przy niezależnych innowacjach.
Macierz jest macierzą podwójnie stochastyczną \(\displaystyle{ 5}\)x\(\displaystyle{ 5}\)
(b) Tutaj jest problem. Nie wiem jak to zinterpretować. Mogę dodać, że jeśli w/w JŁM ma podwójną macierz stochastyczną, to r. stacjonarny dla każdego \(\displaystyle{ j\in\{0,1,2,3,4\}}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ \pi_j=\frac{1}{5}}\)
Każda wskazówka cenna.