wykazanie rozkładu gęstości

[Water Melon]

Mam pokazać, że jeżeli zmienna losowa (ZL) \(\displaystyle{ \xi}\) ma rozkład normalny standaryzowany, to ZL \(\displaystyle{ \eta= \xi ^{2}}\) ma rozkład gęstości:

\(\displaystyle{ g(y)=\begin{cases} 0 \wedge y \le 0\\ \frac{e ^{-y/2} }{ \sqrt{2 \pi y} } \wedge y>0\end{cases}}\)

Jakieś pomysły, jak to ruszyć? ;/

[Premislav]

To jest ultra znane zadanie. Możesz znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ \eta}\), a następnie zróżniczkować.
\(\displaystyle{ F_{\eta}(y)=\mathbf{P}(\eta \le y)=\mathbf{P}(\xi^{2} \le y)=}\)...

[Water Melon]

nie chcę nadużywać Twojej cierpliwości, ale czy mógłbyś to rozwiązać?

[Premislav]

Mógłbym, ale tego nie zrobię. Podpowiedź: nierówność \(\displaystyle{ x^{2} \le y}\), gdzie \(\displaystyle{ y}\) jest jakimś tam rzeczywistym parametrem, nie ma rozwiązań gdy \(\displaystyle{ y<0}\) (dlaczego?), a w przeciwnym wypadku jest spełniona gdy \(\displaystyle{ x}\) leży między minus pierwiastkiem a pierwiastkiem (to są nierówności kwadratowe, poziom pierwszej klasy liceum).