W piłce nożnej mamy dwie możliwości co do ilości strzelonych goli:
A-parzysta liczba goli
B-nieparzysta liczba goli
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)
Mamy też trzy możliwe wyniki:
C - zwycięstwo gospodarzy
D - remis
E - zwycięstwo gości
\(\displaystyle{ P(C) = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(D) = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3}}\)
Jeśli będzie remis wówczas na pewno wystąpi parzysta liczba bramek. Jeśli wygra drużyna gospodarzy \(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}}\), podobnie w przypadku wygranej drużyny gości \(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}}\).
\(\displaystyle{ P(C) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(C) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(B) = 0}\)
\(\displaystyle{ P(E) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(E) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}\)
Dlaczego, skoro na początku zakładaliśmy, że \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)?
Paradoks matematyczny?
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Paradoks matematyczny?
Jaka jest Twoja przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ \Omega}\)? Czy umiesz opisać \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę sensownych zbiorów i określić na nim miarę (prawdopodobieństwo)? Bez tego formalnego wstępu Twoje rozumowanie przywodzi na myśl pewną popularną (swego czasu tutaj) książkę poświęconą matematykom, tancerzom i poetom, w której przedstawiono rewolucyjną metodę przewidywania pogody.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Paradoks matematyczny?
rutra pisze: \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(D) = \frac{1}{3}}\)
"Góra" z "dołem" wzajemnie się wyklucza. Podstawowy błąd jaki popełniasz, to stosujesz wzór \(\displaystyle{ P(X\cap Y)=P(X)\cdot P(Y)}\) dla dowolnych zdarzeń, podczas gdy jest on prawdziwy dla zdarzeń niezależnych, a jak sam zauważyłeś nie wszystkie tutaj takie są.
\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(B) = 0}\)
Paradoks matematyczny?
Może inaczej.
Załóżmy, że w piłce nożnej jest możliwe 6 wyników:
a) 1:0, 2:0
b) 0:0, 1:1
c) 0:1, 0:2
W 4 przypadkach mamy parzystą liczbę bramek.
W 2 przypadkach mamy nieparzystą liczbę bramek.
Czy to oznacza, że \(\displaystyle{ P(A) \neq P(B)}\)? Przy 0-2 bramkach na to wychodzi, ale jak jest przy większej (nieskończonej) ilości bramek? Czy bardziej prawdopodobne jest, że suma bramek będzie liczbą parzystą, a jeśli tak to dlaczego?
Załóżmy, że w piłce nożnej jest możliwe 6 wyników:
a) 1:0, 2:0
b) 0:0, 1:1
c) 0:1, 0:2
W 4 przypadkach mamy parzystą liczbę bramek.
W 2 przypadkach mamy nieparzystą liczbę bramek.
Czy to oznacza, że \(\displaystyle{ P(A) \neq P(B)}\)? Przy 0-2 bramkach na to wychodzi, ale jak jest przy większej (nieskończonej) ilości bramek? Czy bardziej prawdopodobne jest, że suma bramek będzie liczbą parzystą, a jeśli tak to dlaczego?
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Paradoks matematyczny?
Przy założeniu, że mogą padać tylko pewne wyniki, to już bywa różnie, tyle, że to jest już zabawa w to, o czym pisała Medea 2, czyli jaka jest przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\). To np. może Cię zaciekawić:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Bertranda