Paradoks matematyczny?

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
rutra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 131
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Paradoks matematyczny?

Post autor: rutra »

W piłce nożnej mamy dwie możliwości co do ilości strzelonych goli:
A-parzysta liczba goli
B-nieparzysta liczba goli

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)

Mamy też trzy możliwe wyniki:

C - zwycięstwo gospodarzy
D - remis
E - zwycięstwo gości

\(\displaystyle{ P(C) = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(D) = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3}}\)

Jeśli będzie remis wówczas na pewno wystąpi parzysta liczba bramek. Jeśli wygra drużyna gospodarzy \(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}}\), podobnie w przypadku wygranej drużyny gości \(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ P(C) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(C) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(B) = 0}\)

\(\displaystyle{ P(E) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(E) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}\)

Dlaczego, skoro na początku zakładaliśmy, że \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Paradoks matematyczny?

Post autor: Medea 2 »

Jaka jest Twoja przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ \Omega}\)? Czy umiesz opisać \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę sensownych zbiorów i określić na nim miarę (prawdopodobieństwo)? Bez tego formalnego wstępu Twoje rozumowanie przywodzi na myśl pewną popularną (swego czasu tutaj) książkę poświęconą matematykom, tancerzom i poetom, w której przedstawiono rewolucyjną metodę przewidywania pogody.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Paradoks matematyczny?

Post autor: arek1357 »

A jaka to książka?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Paradoks matematyczny?

Post autor: Lorek »

rutra pisze: \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(D) = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(D) \cdot P(B) = 0}\)
"Góra" z "dołem" wzajemnie się wyklucza. Podstawowy błąd jaki popełniasz, to stosujesz wzór \(\displaystyle{ P(X\cap Y)=P(X)\cdot P(Y)}\) dla dowolnych zdarzeń, podczas gdy jest on prawdziwy dla zdarzeń niezależnych, a jak sam zauważyłeś nie wszystkie tutaj takie są.
rutra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 131
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Paradoks matematyczny?

Post autor: rutra »

Może inaczej.

Załóżmy, że w piłce nożnej jest możliwe 6 wyników:

a) 1:0, 2:0
b) 0:0, 1:1
c) 0:1, 0:2

W 4 przypadkach mamy parzystą liczbę bramek.
W 2 przypadkach mamy nieparzystą liczbę bramek.

Czy to oznacza, że \(\displaystyle{ P(A) \neq P(B)}\)? Przy 0-2 bramkach na to wychodzi, ale jak jest przy większej (nieskończonej) ilości bramek? Czy bardziej prawdopodobne jest, że suma bramek będzie liczbą parzystą, a jeśli tak to dlaczego?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Paradoks matematyczny?

Post autor: Lorek »

Przy założeniu, że mogą padać tylko pewne wyniki, to już bywa różnie, tyle, że to jest już zabawa w to, o czym pisała Medea 2, czyli jaka jest przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\). To np. może Cię zaciekawić:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Bertranda
ODPOWIEDZ