Funkcja charakterystyczna

[aqlec]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},..,X_{n}}\) są niezależne i mają tą samą funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi}\).
Zmienne losowa N jest od nich niezależna i ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\).
Wyznaczyć funkcję charakterystyczną sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{N+1}X_{i}}\).

Proszę o pomoc

[Premislav]

\(\displaystyle{ M(t)=\mathbf{E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}} \right]= \sum_{n=0}^{+\infty}\mathbf{P}(N=n)\cdot\mathbf{E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}}\bigg|N=n \right]}\)
Zobacz np. w rozdziale 6. u Jakubowskiego i Sztencla, paragraf drugi (przynajmniej takiż w wydaniu z 2001 r.).
Dalej sobie powinnaś poradzić.

[aqlec]

Okey, rozumiem skąd sie wziął ten wzór.
Tylko nie wiem jak się zabrać za ta warunkową wartośc oczekiwaną

-- 10 sty 2016, o 15:45 --

Albo czekaj tak:

\(\displaystyle{ {E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}}\bigg|N=n \right]={E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{n+1}X_{j}} \right]={E}\left[e^{itX_{j}}\right] ^{n+1} = \left( \phi\right) ^{n+1}}\) ?