Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},..,X_{n}}\) są niezależne i mają tą samą funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi}\).
Zmienne losowa N jest od nich niezależna i ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\).
Wyznaczyć funkcję charakterystyczną sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{N+1}X_{i}}\).
Proszę o pomoc
Funkcja charakterystyczna
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcja charakterystyczna
\(\displaystyle{ M(t)=\mathbf{E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}} \right]= \sum_{n=0}^{+\infty}\mathbf{P}(N=n)\cdot\mathbf{E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}}\bigg|N=n \right]}\)
Zobacz np. w rozdziale 6. u Jakubowskiego i Sztencla, paragraf drugi (przynajmniej takiż w wydaniu z 2001 r.).
Dalej sobie powinnaś poradzić.
Zobacz np. w rozdziale 6. u Jakubowskiego i Sztencla, paragraf drugi (przynajmniej takiż w wydaniu z 2001 r.).
Dalej sobie powinnaś poradzić.
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 1 raz
Funkcja charakterystyczna
Okey, rozumiem skąd sie wziął ten wzór.
Tylko nie wiem jak się zabrać za ta warunkową wartośc oczekiwaną
-- 10 sty 2016, o 15:45 --
Albo czekaj tak:
\(\displaystyle{ {E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}}\bigg|N=n \right]={E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{n+1}X_{j}} \right]={E}\left[e^{itX_{j}}\right] ^{n+1} = \left( \phi\right) ^{n+1}}\) ?
Tylko nie wiem jak się zabrać za ta warunkową wartośc oczekiwaną
-- 10 sty 2016, o 15:45 --
Albo czekaj tak:
\(\displaystyle{ {E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{N+1}X_{j}}\bigg|N=n \right]={E}\left[e^{it \sum_{j=1}^{n+1}X_{j}} \right]={E}\left[e^{itX_{j}}\right] ^{n+1} = \left( \phi\right) ^{n+1}}\) ?