Zbieżność szeregów losowych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Zbieżność szeregów losowych
Moim zdaniem (które niewiele znaczy) twierdzenie o 2 szeregach ma mocniejsze założenia (to teraz zgadnij, które ma słabsze). No bo nawet tak na chłopski rozum: to, że dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c>0}\) mamy
zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\mathbf{E}[X_{n}^{c}]}\),\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\mathbf{D^{2}}[X_{n}^{c}]}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\mathbf{P}(\left| X_{n}\right|>c)}\)
, to nie znaczy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \mathbf{D^{2}}X_{n}<\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \mathbf{E}X_{n}}\) jest zbieżny. Prosty przykład: niech \(\displaystyle{ (X_{n})_{n=1}^{+\infty}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{n}=n)=\mathbf{P}(X_{n}=-n)= \frac{1}{n^{3}} \text{ oraz } \mathbf{P}(X_{n}=0)= 1-\frac{2}{n^{3}}}\)
(z "mojej" zeszłorocznej listy zadań).
No a wynikanie w drugą stronę zdaje się być w oczywisty sposób prawdziwe.
Pozdrawiam.
zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\mathbf{E}[X_{n}^{c}]}\),\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\mathbf{D^{2}}[X_{n}^{c}]}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\mathbf{P}(\left| X_{n}\right|>c)}\)
, to nie znaczy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \mathbf{D^{2}}X_{n}<\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \mathbf{E}X_{n}}\) jest zbieżny. Prosty przykład: niech \(\displaystyle{ (X_{n})_{n=1}^{+\infty}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{n}=n)=\mathbf{P}(X_{n}=-n)= \frac{1}{n^{3}} \text{ oraz } \mathbf{P}(X_{n}=0)= 1-\frac{2}{n^{3}}}\)
(z "mojej" zeszłorocznej listy zadań).
No a wynikanie w drugą stronę zdaje się być w oczywisty sposób prawdziwe.
Pozdrawiam.
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Zbieżność szeregów losowych
Nie widzę tego. Jak szeregi wariancji i wartości oczekiwanych są zbieżne, to obcięte OCZYWIŚCIE też, ale z tym trzecim szeregiem mam problem.Premislav pisze: No a wynikanie w drugą stronę zdaje się być w oczywisty sposób prawdziwe.
I "mojej" tegorocznejPremislav pisze: (z "mojej" zeszłorocznej listy zadań).
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Zbieżność szeregów losowych
A, no fakt, to nie jest takie znowu oczywiste. Za bardzo się popisuję tego typu stwierdzeniami, szczególnie zważywszy na mój bardzo średni stan umiejętności.
Dla \(\displaystyle{ c>0}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\left| X_{n}\right|>c)=\mathbf{P}(\left| X_{n}-\mathbf{E}X_{n}+\mathbf{E}X_{n}\right|>c) \le \mathbf{P}(\left| X_{n}-\mathbf{E}X_{n}\right|+\left|\mathbf{E}X_{n}\right|>c) \le}\), a dalej korzystasz z warunku koniecznego zbieżności \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \mathbf{E}X_{n}}\) i z nierówności Czebyszewa.-- 10 sty 2016, o 16:18 --A dokładniej to z nierówności Czebyszewa-Bienayme.
Dla \(\displaystyle{ c>0}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\left| X_{n}\right|>c)=\mathbf{P}(\left| X_{n}-\mathbf{E}X_{n}+\mathbf{E}X_{n}\right|>c) \le \mathbf{P}(\left| X_{n}-\mathbf{E}X_{n}\right|+\left|\mathbf{E}X_{n}\right|>c) \le}\), a dalej korzystasz z warunku koniecznego zbieżności \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \mathbf{E}X_{n}}\) i z nierówności Czebyszewa.-- 10 sty 2016, o 16:18 --A dokładniej to z nierówności Czebyszewa-Bienayme.