Losowanie z dwóch zbiorów

[Mondo]

Witam, zaskoczyło mnie takie zadanko:

Mamy dwa zbiory:
A {5, 7, 9, 11 }
B {2, 6, 10, 14, 18}

Z obu zbiorów losujemy po jednej liczbie, jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma wyniesie 23 ?

Moje rozwiązanie:

Od razu widać, że wynik 23 mogą dać tylko dwie kombinacje liczb, 5 i 18 oraz 9 i 14. Stąd też,
prawdopodobieństwo wylosowania odpowiedniej liczby z zbioru A wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), z zbioru B: \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\). Ponieważ liczbę 23 daje tylko równoczesne wylosowanie odpowiednich liczb z obu zbiorów więc prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = 20 \%}\)
Niestety prawidłowa odpowiedź to jednak \(\displaystyle{ 10 \%}\), gdzie popełniam błąd ?

Dzięki

[Premislav]

W ten sposób wliczasz np. sytuację, w której z pierwszego zbioru wylosowaliśmy \(\displaystyle{ 9}\), a z drugiego \(\displaystyle{ 18}\). To niedobrze, bo wtedy suma nie jest taka, jaka być miała.-- 6 sty 2016, o 21:55 --Moje rozwiązanie:
mamy łącznie \(\displaystyle{ 5\cdot 4=20}\) wyników losowań pary liczb (po jednej z każdego zbioru), zaś \(\displaystyle{ 2}\) nas interesujące (pary \(\displaystyle{ (9,14)}\) i \(\displaystyle{ (5,18)}\)). Więc wynik to \(\displaystyle{ \frac{2}{20}=10 \%}\)

[Mondo]

Zgadza się, przeoczyłem fakt, że tylko dwie pary, a nie cztery liczby dają nasze założone rozwiązanie.

Gdyby zmodyfikować nieco zadanie i zapytać jakie będzie prawdopodobieństwo przy 10 próbach to wychodzi no na to, że 100% , no ale przecież takiej pewności nie mamy ?

Dzięki.

[Premislav]

Co rozumiesz przez "10 prób"? Obawiam się, że zaszło tu jakieś nieporozumienie.

[Mondo]

Co rozumiesz przez "10 prób"? Obawiam się, że zaszło tu jakieś nieporozumienie.

Chodzi o to, wcześniej wyznaczyliśmy prawdopodobieństwo dla jednego losowania, tzn raz wybieram liczbę z zbioru A i raz z zbioru B. I jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia X - wyznaczyliśmy 10%. OK, a teraz zastanawiam się jakie będzie prawdopodobieństwo zajścia tego samego zdarzenia X jeśli losujemy te liczby dziesięciokrotnie, oczywiście losowanie bez zwracania.
A więc wychodzi \(\displaystyle{ 10( \frac{1}{10} )}\) czyli 100 % no ale takiej gwarancji przecież nie mamy prawda ?

[Premislav]

Jak chcesz wylosować \(\displaystyle{ 10}\) razy bez zwracania, skoro zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma tylko cztery elementy? Czegoś tu nie rozumiem. Poza tym te prawdopodobieństwa się tak nie dodają.

[Mondo]

Jak chcesz wylosować \(\displaystyle{ 10}\) razy bez zwracania, skoro zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma tylko cztery elementy? Czegoś tu nie rozumiem. Poza tym te prawdopodobieństwa się tak nie dodają.

No ale czy ilość 4 elementów w zbiorze determinuje ilość możliwych losowań na nim ? Nie, losuję raz wynik nie zwraca liczy 23, więc próbuję drugi raz dalej nic, i tak 10 razy, za każdym razem losując z tych samych zbiorów. No więc wydaje się że za pierwszym razem mam prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\), za drugim, trzecim, piątym, dziesiątym dalej \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\). Więc jeśli by zapytać jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia X w 10 próbach to wychodzi 100 %

[Premislav]

Aa, no to niepotrzebnie napisałeś "bez zwracania".
Jeśli losujemy cały czas z tych samych zbiorów, to prawdopodobieństwo nietrafienia pary dającej interesującą nas sumę w pojedynczym losowaniu wynosi \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\), a więc dla 10 losowań będzie \(\displaystyle{ \left(\frac{9}{10}\right)^{10}}\). A prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu to będzie \(\displaystyle{ 1-\left(\frac{9}{10}\right)^{10}}\). To nie jest 100%

[Mondo]

No tak, obliczając prawdopodobieństwo nietrafienia jest łatwiej dojść do poprawnego wyniku. Nie wiem czy też tak masz, ale jakoś intuicyjnie nie mogę przestać skłaniać się do dodawania tych 'lokalnych' prawdopodobieństw. Jakoś takie działanie wydaje mi się być uzasadnione jedynie wynik jest bezsensowny. Dlaczego tak jest i gdzie jest haczyk którego nie zauważam ? Jak wyrazić to prawdopodobieństwo w 10 próbach za pomocą prawdopodobieństwa w jednej z nich ?


Wielkie dzięki!