Witam,
mam 2 zadanka z dowodami ze zmiennych losowych, niestety nie umiem sobie z nimi poradzić (praktyczne zadania jeszcze idą, ale teoria jak zawsze leży), prosiłbym o jakieś podpowiedzi jak się nimi zająć:
Zad1
Niech X i Y będą zmiennymi losowymi.
Udowodnić, że:
a) \(\displaystyle{ E(aX) = aE(X)}\)
b) \(\displaystyle{ E(X+b) = EX+b}\)
c) \(\displaystyle{ D^{2}(aX) = a^{2} D^{2} (X)}\)
d) \(\displaystyle{ D^{2}(X+b) = D^{2} (X)}\)
e) jeżeli \(\displaystyle{ y = \frac{X-EX}{DX}, to EY = 0}\) i \(\displaystyle{ D^{2} X = 1}\)
Dowody powyższych własności przeprowadzić zarówna dla zmiennych ciągłych i skokowych.
Zad2
Niech X i Y będą zmiennymi losowymi. Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ E(X+Y) = EX+EY}\)
Dla uproszczenia, dowód przeprowadzić dla zmiennych losowych o rozkładach
skokowych.