Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej

[El_Konrad]

Witam,

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=-\left| x\right| + 1, x \in \left( -1, 1\right)}\). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=4 X^{2} +1}\).

Robię następująco:
\(\displaystyle{ X \in \left( -1, 1\right), Y=4 X^{2} +1 \in \left( 1, 5\right) \\ F_{Y}(x) = P\left( 4X^2 + 1 \le x \right) = P\left( - \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \le X \le \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \right) =* \\ = F_{X}\left( \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \right) - F_{X}\left( -\sqrt{ \frac{x-1}{4} }\right) = F_{X}\left( \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \right)}\)

Teraz różniczkując obustronnie \(\displaystyle{ F_{Y}(x) = F_{X}\left( \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \right)}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ f_{Y}(x) = f_{X}\left( \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{x-1}{4} \right) ^{- \frac{1}{2} } \cdot \frac{1}{4} \\ f_{Y}(x) = \left( - \left| \sqrt{ \frac{x-1}{4} } \right| + 1 \right) \cdot \frac{1}{8 \cdot \sqrt{x-1}} = \\ = \left( - \sqrt{ \frac{x-1}{4} } + 1 \right) \cdot \frac{1}{8 \cdot \sqrt{x-1}}, x \in \left( 1, 5\right)}\)

Co do tej gwiazdeczki \(\displaystyle{ *}\), to tam \(\displaystyle{ x \in \left( 1, 5\right)}\) czy jakoś inaczej?
Zastanawia mnie jeszcze, w końcowym wyniku, co jest poza przedziałem \(\displaystyle{ \left( 1, 5\right)}\)? Czy nic nie ma?

Mam wrażenie, że mogłem coś pomieszać właśnie z przedziałami czy ogólnie, bo nie do końca to rozumiem, więc dobrze gdyby ktoś na to spojrzał i wskazał ewentualne błędy - z góry dziękuję.

[Premislav]

Tak, poza tym przedziałem \(\displaystyle{ (1,5)}\) masz wszędzie zero.
Widzę dwa błędy:
1. Dlaczego twierdzisz, że \(\displaystyle{ F_{X}\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right)-F_{X}\left(-\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right) =...}\)?? Przecież \(\displaystyle{ X}\) może przyjmować ujemne wartości (z niezerowym p-stwem).
2. Zgubiłeś przy liczeniu gęstości czynnik \(\displaystyle{ \left(\frac 14\right)^{-\frac 12}}\)

[El_Konrad]

Premislav,
1. Hm, już sam nie wiem. Teraz jak tak na to patrzę, to może powinno być już bez tego ostatniego równa się, a po prostu: \(\displaystyle{ F_{X}\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right)-F_{X}\left(-\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right)}\) ?

Ogólnie to nie wiem jak postępować w tym momencie, bo raz się zeruje, raz nie i nie mogę znaleźć odpowiedzi "dlaczego".
Jak mam \(\displaystyle{ F(...)}\) to nie wiem do czego porównywać to, co jest w nawiasie. Mógłbyś jakoś to wytłumaczyć?

Podobne zadanie: 400141.htm , wczoraj napisałem mój sposób rozwiązania, ale bez przekonania.

2. Dzięki za czujność

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ x \in (1,5)}\), to \(\displaystyle{ - \sqrt{ \frac{x-1}{4} }\in (-1,0)}\). Wobec tego nieuprawnionym było pominięcie \(\displaystyle{ F_{X}\left(- \sqrt{ \frac{x-1}{4} }\right)}\). Dochodzisz do
\(\displaystyle{ F_{X}\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right)-F_{X}\left(-\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right)}\)
i dalej po prostu różniczkujesz po \(\displaystyle{ x}\).
Na koniec pamiętaj tylko o tym, że \(\displaystyle{ x \in (1,5)}\).

[El_Konrad]

\(\displaystyle{ - \sqrt{ \frac{x-1}{4} }\in (-1,0)}\) i co z tego wynika? Czy chodzi o to, że \(\displaystyle{ (-1,0)}\) z kolei należy do \(\displaystyle{ X \in (-1,1)}\) ? Do tego mam jeszcze przyrównać?

[Premislav]

Z tego wynika, że nieprawdą było
\(\displaystyle{ F_{X}\left(-\sqrt{\frac{x-1}{4}}\right)=0}\), a to wynikało z Twojego zapisu.

Czy chodzi o to, że \(\displaystyle{ (-1,0)}\) z kolei należy do \(\displaystyle{ X \in (-1,1)}\)?

Trochę nieformalnie napisane, ale z grubsza tak (raczej "zawiera się w" niż "należy" i chodzi o nośnik \(\displaystyle{ X}\), a nie samą \(\displaystyle{ X}\), która jest zmienną losową).