Gęstość zmiennej losowej Y

[niXman]

Witam.
Ja ponownie mam pytanie.
Mam zadanie Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} e^x \ dla \ x \le 0\\ 0 \ dla \ x>0\end{cases}}\)
Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X ^{2}-1}\)
Robiłem to tak
Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)
\(\displaystyle{ F _{y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2}-1 \le x)=P(X ^{2} \le x+1)=P(- \sqrt{x+1} \le X \le \sqrt{x+1})}\)
Nie wiem jak dalej to rozpisać...
Czy może ktoś wyjaśnić co robić?
Dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ F _{y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2}-1 \le x)=P(X ^{2} \le x+1)}\)
Tut myśłę że \(\displaystyle{ X ^{2}}\) będzie zawsze większe od \(\displaystyle{ x+1}\)
Z tego może być \(\displaystyle{ F _{y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2}-1 \le x)=P(X ^{2} \le x+1)=0}\)

[El_Konrad]

Zrobiłbym to tak.

Najpierw, \(\displaystyle{ Y=X^2 - 1 \in \left\langle -1, \infty \right)}\)
Rozpatrzyłbym dwa przypadki
1) \(\displaystyle{ x \ge -1}\)
Tak jak zacząłeś:
\(\displaystyle{ F _{Y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2}-1 \le x)=P(X ^{2} \le x+1)= \\ = P(- \sqrt{x+1} \le X \le \sqrt{x+1}) = F_{X}\left( \sqrt{x+1} \right) - F_{X} (- \sqrt{x+1}) = - F_{X} \left( - \sqrt{x+1} \right)}\)

Odnośnie \(\displaystyle{ F_{X}\left( \sqrt{x+1} \right)}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \ge 0, x \ge -1}\), z treści zadania mamy, że \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład, dla \(\displaystyle{ x>0}\), równy \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ F_{X}\left( \sqrt{x+1} \right) = 0}\) - mógłby ktoś potwierdzić czy dobrze myślę?

2) \(\displaystyle{ x < -1}\)
Tutaj \(\displaystyle{ F _{Y}(x) = 0}\), bo dystrybuanta od czegoś ujemnego jest równa zero.

Dalej sobie poradzisz, pod warunkiem, że to, co napisałem jest poprawne, różniczkując obustronnie \(\displaystyle{ F _{Y}(x) = - F_{X} \left( - \sqrt{x+1} \right)}\).

EDIT:
Hm... sam napisałem "dystrybuanta od czegoś ujemnego jest równa zero", a wcześniej nie piszę, że \(\displaystyle{ F_{X} (- \sqrt{x+1}) = 0}\) tylko zostawiam. Niby spojrzałem w tym przypadku na rozkład \(\displaystyle{ X}\), ale sam już nie wiem jak to powinno w końcu być.

[Premislav]

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ F_{Y}(y)=mathbf{P}(Y le y)=mathbf{P}(X^{2} le y+1)=mathbf{P}(-sqrt{y+1} le X le sqrt{y+1})mathbf{1}_{[-1,+infty)}(y)=(F_{X}(sqrt{y+1})-F_{X}(-sqrt{y+1}))mathbf{1}_{[-1,+infty)}(y)=(1-F_{X}(-sqrt{y+1})mathbf{1}_{[-1,+infty)}(y)}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ f_{Y}(y)= frac{f_{X}(-sqrt{y+1})}{2sqrt{y+1}}mathbf{1}_{[-1,+infty)}(y)= frac{e^{-sqrt{y+1}}}{2sqrt{y+1}}mathbf{1}_{{[-1,+infty)}(y)}\)

Komentarz: jeśli tego oznaczenia nie znasz, to dodam, że \(\displaystyle{ \mathbf{1}_{A}(x)= \begin{cases}0, \text{ gdy } x \notin A \\ 1, \text{ gdy } x \in A\end{cases}}\).
Ponadto skoro rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jest skupiony na rzeczywistych ujemnych, to z nieujemności \(\displaystyle{ \sqrt{y+1}}\) wnosimy, że \(\displaystyle{ F_{X}(\sqrt{y+1})=1}\)
A dalej różniczkujemy dystrybuantę tam, gdzie się da.