Strona 1 z 1
zmywanie naczyń
: 5 sie 2007, o 22:11
autor: pelas_91
jeśli danego dnia naczynia zmywa mąż, to następnego zmywa żona. natomiast jeśli danego dnia zmywa ona, to za pomocą rzutu monetą rozstrzygają, kto zmywa naczynia następnego dnia. pierwszego dnia po ślubie zmywał on. jakie jest prawdopodobieństwo że będzie również zmywał w ich 10 rocznicę?
zmywanie naczyń
: 6 sie 2007, o 15:17
autor: jasny
Najpierw narysować sobie drzewko:
\(\displaystyle{ \begin{array}{cccccccccc}1&\,&\,&\,&\,&M1&\,&\,&\,&\,\\2&\,&\,&\,&\,&Z1&\,&\,&\,&\,\\3&\,&M\frac{1}{2}&\,&\,&\,&\,&Z\frac{1}{2}&\,&\,\\4&\,&Z\frac{1}{2}&\,&\,&M\frac{1}{4}&\,&\,&Z\frac{1}{4}&\,\\5&M\frac{1}{4}&\,&Z\frac{1}{4}&\,&Z\frac{1}{4}&\,&M\frac{1}{8}&\,&Z\frac{1}{8}\\\,&\,&\,&\,&\,&...&\,&\,&\,&\,\end{array}}\)
I tak dalej. Więc, prawdopodobieństwo, że mąż zmywa w dniu:
2 - \(\displaystyle{ 0}\)
3 - \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
4 - \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
5 - \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)
6 - \(\displaystyle{ \frac{5}{16}}\)
7 - \(\displaystyle{ \frac{11}{32}}\)
8 - \(\displaystyle{ \frac{21}{64}}\)
Można zauważyć, że licznik każdego kolejnego ułamka jest różnicą mianownik-licznik ułamka poprzedniego. Mianownik \(\displaystyle{ i}\)-tego ułamka wyraża się wzorem \(\displaystyle{ 2^{i-2}}\) (dla \(\displaystyle{ i>1}\)). Zatem każdy licznik wynosi \(\displaystyle{ L_{i+1}=2^{i-2}-L_i}\)
Z drugiej strony każdy licznik jest równy poprzedniemu razy 2, i na przemian + lub - 1
\(\displaystyle{ L_{i+1}=2\cdot L_i+(-1)^{i}}\)
Porównując te dwie zależności rekurencyjne, otrzymujemy wzór ogólny:
\(\displaystyle{ 2\cdot L_i+(-1)^{i}=2^{i-2}-L_i}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot L_i=2^{i-2}+(-1)^{i+1}}\)
\(\displaystyle{ L_i=\frac{2^{i-2}+(-1)^{i+1}}{3}}\)
Dołączając mianownik, prawdopodobieństwo zmywania przez męża w \(\displaystyle{ i}\)-tym dniu po ślubie wynosi:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{2^{i-2}+(-1)^{i+1}}{3\cdot2^{i-2}}=\frac{1}{3}-\frac{(-1)^{i-2}}{3\cdot2^{i-2}}=\frac{1}{3}(1-(-\frac{1}{2})^{i-2})}\), dla \(\displaystyle{ i>1}\)
Wystarczy policzyć który z kolei dzień po ślubie przypada na 10 rocznicę, uwzględniając przypadki z latami przestępnymi i podstawić do wzoru