Na płaszczyźnie jest n punktów z których żadne 3 nie l......

mark939 · Post autor: **mark939** » 25 gru 2015, o 15:06

Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ n}\) punktów z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej. Kreślimy losowo trzy różne odcinki o końcach w tych punktach. Zakładamy, że wszystkie rezultaty są jednakowo prawdopodobne. Oblicz \(\displaystyle{ n}\) wiedząc, że prawdopodobieństwo otrzymania z tych odcinków trójkąta jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{38}.}\)

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 25 gru 2015, o 15:47

Mój pomysł jest taki:
Wszystkich możliwości utworzenia trzech odcinków łączących punkty możemy otrzymać na:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}={n \choose 3}+{n \choose 4}+{n \choose 5}+ {n \choose 6}}\) sposobów.
Trójkąt utworzą punkty w przypadku gdy wybierzemy trzy punkty \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={n \choose 3}}\)
z tego wyjdzie \(\displaystyle{ n=18}\)

mark939 · Post autor: **mark939** » 25 gru 2015, o 16:11

niestety ale to nie jest poprawna odpowiedź
Dla ułatwienia moge dodać ze \(\displaystyle{ n}\) jest równe \(\displaystyle{ 7, 8, 4}\) albo \(\displaystyle{ 6}\).

kerajs · Post autor: **kerajs** » 25 gru 2015, o 16:17

To może:
Zał: \(\displaystyle{ n>3}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}={ {n \choose 2} \choose 3}}\) sposobów.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={n \choose 3}}\)
A z tego wychodzi \(\displaystyle{ n=7}\)

mark939 · Post autor: **mark939** » 25 gru 2015, o 22:02

Tak !!! \(\displaystyle{ 7}\) to dobra odpowiedź tylko nie do końca rozumiem twoje obliczenia tzn wiem dlaczego \(\displaystyle{ { {n \choose 2} \choose 3}}\) potem ale nadal nie wiem jak przy pomocy \(\displaystyle{ \frac{1}{38}}\) obliczyłeś to, byłbym wdzieczny za kilka dodatkowych linijek obliczeń

kerajs · Post autor: **kerajs** » 25 gru 2015, o 23:47

\(\displaystyle{ \frac{ {n \choose 3} } { { {n \choose 2} \choose 3} }= \frac{1}{38}}\)
\(\displaystyle{ 38 {n \choose 3}={ {n \choose 2} \choose 3}}\)
\(\displaystyle{ 38 {n \choose 3}={ \frac{(n-1)n}{2} \choose 3}}\)
\(\displaystyle{ 38 \cdot \frac{(n-2)(n-1)n}{3!}= \frac{(\frac{(n-1)n}{2}-2)(\frac{(n-1)n}{2}-1)\frac{(n-1)n}{2}}{3!} \\
38(n-2)(n-1)n= \frac{n^2-n-4}{2} \cdot \frac{n^2-n-2}{2} \cdot \frac{n^2-n}{2} \\
8 \cdot 38(n-2)(n-1)n=(n^2-n-4)(n+1)(n-2)n(n-1) \\
(n-2)(n-1)n \cdot \left[ 8 \cdot 38-(n+1)(n^2-n-4)\right] =0}\)
A z tym sobie poradzisz, tym bardziej że wiesz iż liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ n^3-5n-308}\).

Ps. Pamiętaj o założeniu \(\displaystyle{ n>3}\)