Błądzenie w R po kracie - Hughes

musialmi · Post autor: **musialmi** » 21 gru 2015, o 14:37

W książce Hughesa jest napisane tak:
Jest bardzo prosty argument, który mówi, że w problemie Polyi w $\displaystyle{ \RR}$ powrót do początkowego punktu jest pewne. Niech spacer zaczyna się w punkcie $\displaystyle{ O}$ i bez straty ogólności (ponieważ ruch w obie strony jest tak samo prawdopodobny) załóżmy, że pierwszy krok jest w prawo, do punktu $\displaystyle{ A}$. Niech $\displaystyle{ R}$ będzie preństwem, że spacerujący wróci do punktu $\displaystyle{ O}$. Łatwo obliczymy możliwe sposoby spacerującego na powrót. W swoim drugim kroku albo od razu powraca albo idzie w prawo od $\displaystyle{ A}$ (również z preństwem $\displaystyle{ \frac 12}$). W drugim przypadku musi powrócić do $\displaystyle{ A}$ zanim wróci do $\displaystyle{ O}$.
Wynika z tego, że $\displaystyle{ R=\frac 12+\frac 14R + \frac 18R^2+\ldots}$.

Nie widzę tego wyniknięcia, mógłby ktoś to wyjaśnić?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 21 gru 2015, o 20:56

Za każdym razem, gdy znajdziesz się w punkcie $\displaystyle{ A,}$ to albo musisz pójść w lewo ($\displaystyle{ \frac12}$), albo w prawo ($\displaystyle{ \frac12}$) i wrócić do $\displaystyle{ A}$ ($\displaystyle{ R}$).

$\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(20,-40){5}{
\put(0,0){\vector(-1,-2){20}}
\put(0,0){\vector(1,-2){20}}
\put(-19,-20){$\frac12$}
\put(12,-20){$\frac12R$}
}
\put(-24,-51){$\frac12$}
\put(-7,-91){$\frac14R$}
\put(12,-131){$\frac18R^2$}
\put(31,-171){$\frac1{16}R^3$}
\put(51,-211){$\frac1{32}R^4$}
\put(96,-211){$\ldots$}
\end{picture}}$

musialmi · Post autor: **musialmi** » 22 gru 2015, o 12:33

Uu, jaki fajny obrazek
Dlaczego w lewo idę z prawdopodobieństwem $\displaystyle{ \frac 12}$, a w prawo z prawdopodobieństwem $\displaystyle{ \frac 12R}$?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 22 gru 2015, o 19:19

I w lewo, i w prawo idziesz z prawdopodobieństwem $\displaystyle{ \frac12.}$ Jeśli pójdziesz w lewo, to już osiągnąłeś cel, ale jeśli w prawo, to chciałbyś jeszcze wrócić do punktu $\displaystyle{ A,}$ a na to masz prawdopodobieństwo równe $\displaystyle{ R.}$ Właściwie ten szereg nie jest tam potrzebny, bo można od razu napisać:

$\displaystyle{ R=\frac12+\frac12R^2.}$

W drugim składniku jedno $\displaystyle{ R}$ odpowiada za powrót do punktu $\displaystyle{ A,}$ a drugie za powrót z $\displaystyle{ A}$ do $\displaystyle{ O.}$

musialmi · Post autor: **musialmi** » 22 gru 2015, o 20:48

Na samym początku twojego schematu jesteśmy w $\displaystyle{ A}$. A gdzie jesteśmy na końcu pierwszej strzałki w prawo? W $\displaystyle{ A}$?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 23 gru 2015, o 19:02

musialmi · Post autor: **musialmi** » 23 gru 2015, o 19:26

Dziękuję. Ale jeśli to jest "łatwo obliczalne", to chyba powinienem zostawić tę książkę w spokoju <XD>

musialmi · Post autor: **musialmi** » 13 mar 2016, o 14:16

Dalej mam problem. Jak ułożyć podobne równanie, jeśli preństwo pojścia w prawo wynosi $\displaystyle{ p}$, a w lewo $\displaystyle{ 1-p}$? Wg książki ma wyjść równanie, którego rozwiązaniem jest $\displaystyle{ R=1-|2p-1|}$. Za Chiny nie chce mi to wyjść, postępując rozumowaniem, które podałeś, norwimaj. Ewidentnie czegoś nie rozumiem.
Wychodzi mi $\displaystyle{ R=\frac{1-|2p-1|}{2p}}$.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 13 mar 2016, o 16:08

musialmi pisze:Niech spacer zaczyna się w punkcie $\displaystyle{ O}$ i bez straty ogólności (ponieważ ruch w obie strony jest tak samo prawdopodobny) załóżmy, że pierwszy krok jest w prawo, do punktu $\displaystyle{ A}$.

Miej na uwadze, że w niesymetrycznym wariancie ten fragment rozwiązania się psuje. Możesz osobno rozważyć pierwszy ruch w prawo i pierwszy ruch w lewo.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 13 mar 2016, o 16:42

Fantastyczna uwaga. Dziękuję, wszystko się zgadza.