Błądzenie w R po kracie - Hughes
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
W książce Hughesa jest napisane tak:
Jest bardzo prosty argument, który mówi, że w problemie Polyi w \(\displaystyle{ \RR}\) powrót do początkowego punktu jest pewne. Niech spacer zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i bez straty ogólności (ponieważ ruch w obie strony jest tak samo prawdopodobny) załóżmy, że pierwszy krok jest w prawo, do punktu \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie preństwem, że spacerujący wróci do punktu \(\displaystyle{ O}\). Łatwo obliczymy możliwe sposoby spacerującego na powrót. W swoim drugim kroku albo od razu powraca albo idzie w prawo od \(\displaystyle{ A}\) (również z preństwem \(\displaystyle{ \frac 12}\)). W drugim przypadku musi powrócić do \(\displaystyle{ A}\) zanim wróci do \(\displaystyle{ O}\).
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ R=\frac 12+\frac 14R + \frac 18R^2+\ldots}\).
Nie widzę tego wyniknięcia, mógłby ktoś to wyjaśnić?
Jest bardzo prosty argument, który mówi, że w problemie Polyi w \(\displaystyle{ \RR}\) powrót do początkowego punktu jest pewne. Niech spacer zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i bez straty ogólności (ponieważ ruch w obie strony jest tak samo prawdopodobny) załóżmy, że pierwszy krok jest w prawo, do punktu \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie preństwem, że spacerujący wróci do punktu \(\displaystyle{ O}\). Łatwo obliczymy możliwe sposoby spacerującego na powrót. W swoim drugim kroku albo od razu powraca albo idzie w prawo od \(\displaystyle{ A}\) (również z preństwem \(\displaystyle{ \frac 12}\)). W drugim przypadku musi powrócić do \(\displaystyle{ A}\) zanim wróci do \(\displaystyle{ O}\).
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ R=\frac 12+\frac 14R + \frac 18R^2+\ldots}\).
Nie widzę tego wyniknięcia, mógłby ktoś to wyjaśnić?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
Za każdym razem, gdy znajdziesz się w punkcie \(\displaystyle{ A,}\) to albo musisz pójść w lewo (\(\displaystyle{ \frac12}\)), albo w prawo (\(\displaystyle{ \frac12}\)) i wrócić do \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ R}\)).
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(20,-40){5}{
\put(0,0){\vector(-1,-2){20}}
\put(0,0){\vector(1,-2){20}}
\put(-19,-20){$\frac12$}
\put(12,-20){$\frac12R$}
}
\put(-24,-51){$\frac12$}
\put(-7,-91){$\frac14R$}
\put(12,-131){$\frac18R^2$}
\put(31,-171){$\frac1{16}R^3$}
\put(51,-211){$\frac1{32}R^4$}
\put(96,-211){$\ldots$}
\end{picture}}\)
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(20,-40){5}{
\put(0,0){\vector(-1,-2){20}}
\put(0,0){\vector(1,-2){20}}
\put(-19,-20){$\frac12$}
\put(12,-20){$\frac12R$}
}
\put(-24,-51){$\frac12$}
\put(-7,-91){$\frac14R$}
\put(12,-131){$\frac18R^2$}
\put(31,-171){$\frac1{16}R^3$}
\put(51,-211){$\frac1{32}R^4$}
\put(96,-211){$\ldots$}
\end{picture}}\)
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
Uu, jaki fajny obrazek
Dlaczego w lewo idę z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 12}\), a w prawo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 12R}\)?
Dlaczego w lewo idę z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 12}\), a w prawo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 12R}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
I w lewo, i w prawo idziesz z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac12.}\) Jeśli pójdziesz w lewo, to już osiągnąłeś cel, ale jeśli w prawo, to chciałbyś jeszcze wrócić do punktu \(\displaystyle{ A,}\) a na to masz prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ R.}\) Właściwie ten szereg nie jest tam potrzebny, bo można od razu napisać:
\(\displaystyle{ R=\frac12+\frac12R^2.}\)
W drugim składniku jedno \(\displaystyle{ R}\) odpowiada za powrót do punktu \(\displaystyle{ A,}\) a drugie za powrót z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ O.}\)
\(\displaystyle{ R=\frac12+\frac12R^2.}\)
W drugim składniku jedno \(\displaystyle{ R}\) odpowiada za powrót do punktu \(\displaystyle{ A,}\) a drugie za powrót z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ O.}\)
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
Na samym początku twojego schematu jesteśmy w \(\displaystyle{ A}\). A gdzie jesteśmy na końcu pierwszej strzałki w prawo? W \(\displaystyle{ A}\)?
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
Dalej mam problem. Jak ułożyć podobne równanie, jeśli preństwo pojścia w prawo wynosi \(\displaystyle{ p}\), a w lewo \(\displaystyle{ 1-p}\)? Wg książki ma wyjść równanie, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ R=1-|2p-1|}\). Za Chiny nie chce mi to wyjść, postępując rozumowaniem, które podałeś, norwimaj. Ewidentnie czegoś nie rozumiem.
Wychodzi mi \(\displaystyle{ R=\frac{1-|2p-1|}{2p}}\).
Wychodzi mi \(\displaystyle{ R=\frac{1-|2p-1|}{2p}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Błądzenie w R po kracie - Hughes
Miej na uwadze, że w niesymetrycznym wariancie ten fragment rozwiązania się psuje. Możesz osobno rozważyć pierwszy ruch w prawo i pierwszy ruch w lewo.musialmi pisze:Niech spacer zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i bez straty ogólności (ponieważ ruch w obie strony jest tak samo prawdopodobny) załóżmy, że pierwszy krok jest w prawo, do punktu \(\displaystyle{ A}\).