Wielomian 3go stopnia i dystrybuanta

[krystian8207]

Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=g(X)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=x\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}\) i \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Co udało mi się do tej pory ustalić?
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)= \begin{cases} 0 \textrm{\ gdy\ } y \le -\frac{\sqrt{3}}{36} \\ 1 \textrm{\ gdy\ } y \ge \frac{\sqrt{3}}{36} \end{cases}}\)

Nieco łatwiej to badać, gdy sobie podstawię \(\displaystyle{ Z=X-\frac{1}{2}}\). Wówczas \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]}\), oraz \(\displaystyle{ Y=h(Z)}\), gdzie \(\displaystyle{ h(z)=z\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{1}{2}\right)}\). Funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest nieparzysta i widać stąd, że \(\displaystyle{ F_{Y}(y)=1-F_{Y}(-y)}\). Mogę więc się ograniczyć do \(\displaystyle{ y>0}\).

Równanie \(\displaystyle{ h(z)=y}\) ma dla \(\displaystyle{ y\in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{36}\right)}\) dwa rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]}\), powiedzmy \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ z_{1}<z_{2}}\). Chcę obliczyć \(\displaystyle{ F_{Y}(y)=1-\mathbb{P}(X\in[z_{1},z_{2}])}\). Na dobrą sprawę, ponieważ \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład jednostajny to wystarczy, że wyznaczę różnicę: \(\displaystyle{ z_{2}-z_{1}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{36}\right)}\). I na tym się zatrzymałem. Jeśli ktoś ma jakieś pomysły to proszę je tu zamieszczać.

Pozdrawiam krystian8207

PS. Rozważałem użycie wzorów Cardana, ale mam przeczucie, że da się to zrobić bez tego narzędzia.