Rozkład normalny - trzech losowych mężczyzn

[sukcesso]

Wzrost dorosłych mężczyzn w Polsce ma rozkład normalny N(175 cm, 8 cm), a wzrost kobiet ma rozkład N(165 cm, 5 cm).
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybranym małżeństwie mężczyzna jest mniej niż o 5 cm wyższy od żony?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzech losowo wybranych mężczyzn będzie miało powyżej 185 cm?

Mam wątpliwości i chciałbym, aby sprawdzono mi czy jest dobrze.

Rozwiązanie podpunktu a)

X – zmienna losowa określająca wzrost mężczyzny,
Y – zmienna losowa określająca wzrost kobiet,
Z – zmienna losowa oznaczająca zdarzenie X – Y.
Liczymy:
\(\displaystyle{ X - Y = Z \sim N(175-165, \sqrt{8^2+5^2}) = N(10, \sqrt{89})}\)
\(\displaystyle{ P(Z<5) = P(\frac{Z-\sqrt{89}}{10}< \frac{5-\sqrt{89}}{10}) \approx \Phi(-0.44)
= 1 - \Phi(0.44) = 1 - 0.670031 \approx 0.33}\)

Rozwiązanie podpunktu b)

\(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, X_{3}}\) - zmienne losowe określające losowego mężczyznę
\(\displaystyle{ Z = X_{1} + X_{2} + X_{3} \sim N(175+175+175, 8\sqrt{3}) = N(525, 8\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ P(Z>3*185) = 1 - P(Z<555) = 1 - P(\frac{Z-525}{8\sqrt{3}}< \frac{555-525}{8\sqrt{3}}) \approx 1 - \Phi(2.1615) \approx 1 - 0.9846 = 0.0154}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ Y \sim N(X-Y, \sqrt{8^2+5^2}) = N(X-Y, \sqrt{89})}\)

Ten zapis jest zupełnie bez sensu

[sukcesso]

Rzeczywiście, zupełnie bez sensu. Dokonałem edycji.

[miodzio1988]

dalej bez sensu

[sukcesso]

Mam nadzieję, że teraz jest w porządku. O ile chodzi o powyższy zapis

[miodzio1988]

Później odejmujesz odchylenie i dzielisz prze średnią. Jeżeli masz to na odwal zapisywać to nikt Ci tego nie będzie sprawdzał

[sukcesso]

Dziękuję za szczere uwagi.

Liczymy:
\(\displaystyle{ X - Y = Z \sim N(175-165, \sqrt{8^2+5^2}) = N(10, \sqrt{89})}\)
\(\displaystyle{ P(Z<5) = P(\frac{Z-\sqrt{89}}{10}< \frac{5-\sqrt{89}}{10}) \approx \Phi(-0.44)
= 1 - \Phi(0.44) = 1 - 0.670031 \approx 0.33}\)

Po poprawkach:
\(\displaystyle{ P(Z<5) = P(\frac{Z-10}{\sqrt{89}}< \frac{5-10}{\sqrt{89}}) = P(\frac{Z-10}{\sqrt{89}} < \frac{-5}{\sqrt{89}}) \approx \Phi(-0.53) = 1 - \Phi(0.53) = 1 - 0.7019 = 0.2981}\)-- 20 gru 2015, o 15:02 --Podpunkt b) jest źle. Nie liczymy sumy zmiennych. Policzyć trzeba \(\displaystyle{ P(X>185)^3}\)