ROZKŁAD POISSONA

travelergigi · Post autor: **travelergigi** » 13 gru 2015, o 14:16

\(\displaystyle{ W kinie jest 40 miejsc. Liczba chętnych na seans ma rozkład Poissona z lambda=35. Jaka jest wartość oczekiwana liczby widzów?\(\displaystyle{ }\)}\)

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 13 gru 2015, o 14:52

Będzie to rozkład ucięty. Prawdopodobieństwo że w kinie jest cała sala pełna bedzie równa sumie prawd. rozkladu Poissona dla k większego lub równego 40.

travelergigi · Post autor: **travelergigi** » 13 gru 2015, o 15:43

A czy mógłbyś mi pomóc to rozpisać? Nie mam niestety żadnego pojęcia jak zacząć

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 gru 2015, o 16:09

Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę widzów (to jest zmienna losowa). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)=\begin{cases} e^{-35} \frac{35^{k}}{k!}, \text{ gdy } k=0,1...39 \\
\sum_{k=40}^{+\infty} e^{-35} \frac{35^{k}}{k!}, \text{ dla k=40 }\end{cases}}\)
Wynika to stąd, że aby kino było pełne, musi być co najmniej \(\displaystyle{ 40}\) chętnych.

A zatem wartość oczekiwana liczby widzów to \(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \sum_{k=0}^{39}\left(k \cdot e^{-35} \frac{35^{k}}{k!}\right)+40 \cdot \sum_{k=40}^{+\infty} e^{-35} \frac{35^{k}}{k!}}\). nie policzę tego, bo mi się nie chce. Można jeszcze to zapisać w terminach dystrybuanty rozkładu Poissona, ale na nią nie ma żadnych "fajnych" (tj. zwartych) formuł.