Zmienna losowa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
niXman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 25 sty 2015, o 13:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Zmienna losowa

Post autor: niXman »

Witam ma zadanie
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}e ^{x} &\text{dla } x \le 0\\0 &\text{dla } x>0 \end{cases}}\)
Wyznaczyć gęstość zm. losowej \(\displaystyle{ Y=X ^{2} - 1}\)
Myślałem to zrobić tak
\(\displaystyle{ x \in \left(- \infty ; 0 \right\rangle}\) a \(\displaystyle{ Y \in \left\langle 1; \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ F _{y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2} -1 \le x)=P(X ^{2} \le x+1)=P(- \sqrt{x+1} \le X \le \sqrt{x+1})=F _{x}( \sqrt{x+1})- F _{x}( -\sqrt{x+1})=F _{x}( \sqrt{x+1})}\)
\(\displaystyle{ F _{y}(x)=F _{x}( \sqrt{x+1}) | \cdot \left( \right)'}\)
\(\displaystyle{ f _{y}(x)=f _{x}( \frac{1}{2 \sqrt{x+1} })}\)
Czy to jest poprawnie co zrobiłem?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zmienna losowa

Post autor: Premislav »

ma zadanie
Kto ma zadanie?

Nie jest to tak do końca poprawne: po pierwsze zwróć uwagę, że te przekształcenia (do momentu, w którym różniczkujesz) są poprawne gdy \(\displaystyle{ x \ge -1}\), w przeciwnym wypadku po prostu \(\displaystyle{ F_{y}(x)=0}\).
Po drugie źle zróżniczkowałeś dystrybuantę: przypomnij sobie wzór na pochodną funkcji złożonej.

-- 11 gru 2015, o 18:24 --
\(\displaystyle{ Y \in \langle 1; \infty )}\)
A nie czasem \(\displaystyle{ Y \in \langle -1; \infty )}\)? Choć niewykluczone, że to akurat literówka (minusówka :s).
ODPOWIEDZ