Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Tomek i Olek czekają w dwóch kolejkach na stacji PKS. Czas oczekiwania na obsługę każdej osoby (w minutach) ma rozkład wykładniczy. Średni czas oczekiwania na obsługę wynosi 40 minut. Pociąg Tomka i Olka odjeżdża za 30minut. Osoba, która pierwsza dojdzie do okienka kupuje oba bilety. Jakie jest prawdopodobieństwo ,że Tomek i Olek zdążą na pociąg, jeśli czas dojścia od okienka na peron wynosi 5minut? Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej opisującej czas oczekiwania na obsługę.
Powiedzmy, że masz dwie niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\) o tym samym rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ 40}\). No i szukasz prawdopodobieństwa, że minimum z tych zmiennych losowych nie przekroczy \(\displaystyle{ 25}\).
Zaobserwuj, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\min(X_{1}, X_{2}) \le t)=1-\mathbf{P}(\min(X_{1}, X_{2}) > t)=1-\mathbf{P}(X_{1}>t, X_{2}>t)}\) i teraz skorzystaj z niezależności. Na koniec będzie nietrudna całka do policzenia.
W sumie to nie mam solidnego uzasadnienia na to, by te zmienne losowe były niezależne - to, że wydają się niezależne w potocznym rozumieniu, to w sumie żaden argument. Ale nie bardzo widzę, jak można by to rozwiązać bez założenia o tym, że zmienne losowe odzwierciedlające czas oczekiwania w jednej i w drugiej kolejce odpowiednio są niezależne.
Proszę. No sama całka to mi wychodzi \(\displaystyle{ \int_{25}^{+ \infty } \frac{1}{40} e^{- \frac{1}{40} x}dx}\) (czas oczekiwania jest u mnie w minutach), ale to nie jest wynik - wynikiem jest \(\displaystyle{ 1-u^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ u}\) to wartość tej całki.
Jak ktoś woli tak policzyć, to może też zapisać, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{i}>t)=1-F(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą (wspólną dla \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\), bo mają one ten sam rozkład). I wtedy ma do policzenia \(\displaystyle{ \int_{0}^{25} \frac{1}{40} e^{- \frac{1}{40} x}dx}\)
No to właśnie liczysz dystrybuantę, bo \(\displaystyle{ \int_{0}^{25} \frac{1}{40} e^{- \frac{1}{40} x}dx =1-\int_{25}^{+ \infty } \frac{1}{40} e^{- \frac{1}{40} x}dx}\) to jest wartość dystrybuanty rozkładu wykładniczego o średniej \(\displaystyle{ 40}\) w punkcie \(\displaystyle{ 25}\).
Oczywiście można nie pisać już całek na tym etapie, tylko na wstępie znaleźć zwartą postać dystrybuanty, całkując gęstość po \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) (tj. uwzględniając nośnik rozkładu) i dalej już tylko podstawić, ale nie zmienia to samego rozwiązania.