Ostatnio przeglądając moje zeszyty i książki ze studiów trafiłem na "Rozmaitości Usmiechnięte" - książeczkę wydaną kiedyś przez studentów matematyki UJ (). Pamiętam jak walczyłem kiedyś z jednym zadaniem - zachęcam do rozwiązania i czekam na odpowiedzi.
A oto zadanie:
Pani Kowalska postanawia zabić dręczącego ją małżonka alkoholika. Zamierza tego dokonać prostym, domowym sposobem, tj. przy użyciu noża kuchennego. Aby ułatwić sobie zadanie, ma zamiar upić Kowalskiego znajdującym się akurat w pojemniku na chleb spirytusem. Kiedy jednak małżonek późnym wieczorem zjawia się wreszcie w domu, plany pani Kowalskiej zaczynają się komplikować, gdyż przyprowadza on ze sobą brata bliźniaka, zaś Kowalska jest w stanie rozpoznać swojego męża z prawdopodobieństwem wynoszącym zaledwie 3/4. Zdeterminowana decyduje się zaryzykować. Zaprasza braci do stołu i częstuje ich rzeczonym spirytusem, rozważając też jednocześnie w myśli, kiedy też najlepiej będzie zaatakować. Wie ona, że mąż jest od niej silniejszy i obroniłby się gołymi rękami z prawdopodobieństwem 2/3, jednak po każdym i-tym wypitym kieliszku prawdopodobieństwo to maleje o (2/5)^i. Z kolei, z mętnych opowiadań męża o bracie bliźniaku może się domyślać, że ów obroniłby się z prawdopodobieństwem 1/3 i prawdopodobieństwo to maleje wraz z każdym i-tym kieliszkiem o (1/2)^(i+2). Ponieważ jednak Kowalska również musi popijać dla towarzystwa, to z czasem z coraz mniejszą pewnością potrafi rozpoznać męża. Jej zdolność prawidłowego wytypowania ofiary maleje przeciętnie o (1/2)^(i+2) po każdym wypitym przez braci kieliszku (przyjmujemy, że mają oni jednakowe tempo). Nagle Kowalska przypomina sobie, że mąż ma słabe serce i można śmiało założyć, że gdyby przypadkiem rzuciła się z nożem na jego brata i zabiła go, to małżonek z prawdopodobieństwem 1/3 skonałby na zawał. Z drugiej strony - główkuje Kowalska - jeśli ugodzony zostanie mąż, to jego brat na pewno zdąży uciec i zawiadomić pogotowie. (Kowalska przewiduje samokrytycznie, że nie byłaby w stanie dobić męża i raczej już sama by zemdlała, niż powtórnie nacięła Kowalskiego). Ze statystyk państwowej służby zdrowia możemy wnioskować, że karetka reanimacyjna zdążyłaby przyjechać na czas do umierającego z prawdopodobieństwem 1/2, ale ze względu na nocną porę prawdopodobieństwo to maleje dwukrotnie po każdych dziesięciu minutach (przyjmijmy dla uproszczenia, że tyle właśnie czasu zajmuje Kowalskim jedna kolejka). Po którym kieliszku powinna zaatakować Kowalska, aby jej mąż miał największe szanse przeżycia, jeżeli wiadomo, że zabójczyni wyciągnie losowo jeden nóż z szuflady zawierającej cztery bardzo podobne noże, z których dokładnie jeden jest zardzewiały. Wiemy ponadto, że szanse przybycia na czas karetki do umierającego z raną zadaną zardzewiałym nożem są dwukrotnie mniejsze, niż gdyby narzędzie było czyste.
autor: Janusz Adamus
Szanse na zabicie męża...
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Szanse na zabicie męża...
Link: ... tuuwyk.jpg
Podkreśliłem tu zdarzenia sprzyjające (mąż nie zostanie zabity)
Na podstawie drzewka można napisać funkcję prawdopodobieństwa zdarzenia, że mąż nie zostanie zabity.
\(\displaystyle{ P = \left( \frac{3}{4} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} \right) + \\ + \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{3}{4} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} \right) \cdot \left( 1 - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right) + \\ + \left( \frac{1}{4} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \frac{2}{3} + \\ + \left( \frac{1}{4} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right)}\)
Podstawiając
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} = x \\ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} = y \\ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} = z}\)
funkcja przyjmuje postać
\(\displaystyle{ P = \left( \frac{3}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{2}{3} - y \right) + \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{3}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{1}{3} + y \right) \cdot \left( 1-z \right) + \\ + \left( \frac{1}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{2}{3} + x \right) \cdot \frac{2}{3} + \left( \frac{1}{4} + x \right) \cdot \left( \frac{1}{3} - x \right) = \\ = - \frac{5}{3} x ^{2} - \frac{83}{72} x - \frac{3}{32} y - \frac{7}{32} z + \frac{1}{8} xy + \frac{7}{24} xz - \frac{21}{32} yz + \frac{7}{8} xyz + \frac{263}{288}}\)
Przyjmując, że wszyscy wypiją po jednym kieliszku czyli \(\displaystyle{ n=1}\) dostajemy
\(\displaystyle{ P = - \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{64} - \frac{83}{72} \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{32} \cdot \frac{2}{5} - \frac{7}{72} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} + \\ + \frac{7}{24} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} - \frac{21}{32} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{263}{288} \approx 0.57188}\)
dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ P = - \frac{5}{3} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) ^{2} - \frac{83}{72} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) - \frac{3}{32} \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) - \frac{7}{72} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{8} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) + \\ + \frac{7}{24} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) - \frac{21}{32} \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{7}{8} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{263}{288} \approx 0.45234}\)
Wyszły wyniki nawet realne, także może jest jakaś szansa że dobrze to wszystko zapisałem... Z tego co mi się wydaje, to Kowalska, im bardziej rozpije męża i brata, tym większe szanse powodzenia zbrodni (wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\) coraz mniejsze prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\) - zdarzenia, że mąż przeżyje ). Wobec tego , moja odpowiedź: Kowalska powinna zaatakować po pierwszym kieliszku. Nie potrafię jednak obliczyć tego odpowiedniego \(\displaystyle{ n}\) , o które pytają w zadaniu, dla którego \(\displaystyle{ P}\) będzie największe. Może ktoś sprytniejszy się tego podejmie...
Podkreśliłem tu zdarzenia sprzyjające (mąż nie zostanie zabity)
Na podstawie drzewka można napisać funkcję prawdopodobieństwa zdarzenia, że mąż nie zostanie zabity.
\(\displaystyle{ P = \left( \frac{3}{4} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} \right) + \\ + \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{3}{4} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} \right) \cdot \left( 1 - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right) + \\ + \left( \frac{1}{4} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \frac{2}{3} + \\ + \left( \frac{1}{4} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} \right)}\)
Podstawiając
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} = x \\ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} = y \\ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} = z}\)
funkcja przyjmuje postać
\(\displaystyle{ P = \left( \frac{3}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{2}{3} - y \right) + \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{3}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{1}{3} + y \right) \cdot \left( 1-z \right) + \\ + \left( \frac{1}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{2}{3} + x \right) \cdot \frac{2}{3} + \left( \frac{1}{4} + x \right) \cdot \left( \frac{1}{3} - x \right) = \\ = - \frac{5}{3} x ^{2} - \frac{83}{72} x - \frac{3}{32} y - \frac{7}{32} z + \frac{1}{8} xy + \frac{7}{24} xz - \frac{21}{32} yz + \frac{7}{8} xyz + \frac{263}{288}}\)
Przyjmując, że wszyscy wypiją po jednym kieliszku czyli \(\displaystyle{ n=1}\) dostajemy
\(\displaystyle{ P = - \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{64} - \frac{83}{72} \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{32} \cdot \frac{2}{5} - \frac{7}{72} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} + \\ + \frac{7}{24} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} - \frac{21}{32} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{263}{288} \approx 0.57188}\)
dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ P = - \frac{5}{3} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) ^{2} - \frac{83}{72} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) - \frac{3}{32} \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) - \frac{7}{72} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{8} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) + \\ + \frac{7}{24} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) - \frac{21}{32} \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{7}{8} \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} + \frac{4}{25} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{263}{288} \approx 0.45234}\)
Wyszły wyniki nawet realne, także może jest jakaś szansa że dobrze to wszystko zapisałem... Z tego co mi się wydaje, to Kowalska, im bardziej rozpije męża i brata, tym większe szanse powodzenia zbrodni (wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\) coraz mniejsze prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\) - zdarzenia, że mąż przeżyje ). Wobec tego , moja odpowiedź: Kowalska powinna zaatakować po pierwszym kieliszku. Nie potrafię jednak obliczyć tego odpowiedniego \(\displaystyle{ n}\) , o które pytają w zadaniu, dla którego \(\displaystyle{ P}\) będzie największe. Może ktoś sprytniejszy się tego podejmie...