Centralne tw. graniczne?

[princess691]

Z wnętrza \(\displaystyle{ 180}\) wymiarowej kostki \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]^{180}}\) losujemy zgodnie z rozkładem jednostajnym punkt \(\displaystyle{ X}\) . Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że punkt ten jest odległy od początku układu współrzędnych o mniej niż \(\displaystyle{ 8}\)

Długo już myślę nad tym zadaniem i potrzebuje pomocy.
Zaczynam tak
\(\displaystyle{ X_i}\) to ita współrzędna punktu \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ EX_i=0, \ VarX_i=1/3}\)
I chcemy szacować prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( \sqrt{ \sum_{i=1}^{180} X_i^2} <8\right)}\)
I w tym momencie nie wiem co dalej, bo mam sumę kwadratów.

[robertm19]

Jak masz kwadraty to trzeba obliczyć wartość oczekiwaną kwadratu zmiennej i wariancję. Rozkład jest jednostajny, więc łatwo się całkuje.

[princess691]

Tak myślałam ale potrzebowałam potwierdzenia :

\(\displaystyle{ EX_i^2= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ VarX_i^2= \frac{4}{45}}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ P\left( \sqrt{ \sum_{i=1}^{180} X_i^2} <8\right)=P\left( -2 \sqrt{2} < \sum_{i=1}^{180} X_i^2 < 2 \sqrt{2} \right)=P\left( 0 < \sum_{i=1}^{180} X_i^2 < 2 \sqrt{2} \right)=P\left( -60 < \frac{\sum_{i=1}^{180} X_i^2 \ -60}{ \sqrt{180 \frac{4}{45} } } < 2 \sqrt{2}-60 \right)= \phi( 2 \sqrt{2}-60) - \phi(-60)}\)