Ciąg \(\displaystyle{ X_n}\) zm. losowych taki, że \(\displaystyle{ P(X_n= \frac{k}{n})=2^{-k}}\)
Czy ciąg jest zbieżny wg rozkładu?
-- 6 gru 2015, o 18:47 --
wydaję mi się, że ten ciąg nie jest zbieżny, bo
\(\displaystyle{ P(X_n= \frac{k}{n}) \rightarrow P(X_n= 0)=2^{-k}}\)
zbieżność ciągu zm. losowych wg rozkładu
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 2 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
zbieżność ciągu zm. losowych wg rozkładu
\(\displaystyle{ X_{n}}\) zbiega według rozkładu do pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg funkcji charakterystycznych \(\displaystyle{ \phi_{X_{n}}(t)}\) zbiega punktowo do funkcji charakterystycznej rozkładu granicznego. Funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ X_{n}}\) to będzie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+ \infty }e ^{it \frac{k}{n} }2^{-k}= \frac{ \frac{1}{2} e^{ \frac{it}{n} }}{1- \frac{1}{2}e^{ \frac{it}{n} } }}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{ \frac{1}{2} e^{ \frac{it}{n} }}{1- \frac{1}{2}e^{ \frac{it}{n} } }=1}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) (granica punktowa). Ale 1 jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie jednopunktowym równej \(\displaystyle{ 0}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\), stąd ciąg \(\displaystyle{ X_{n}}\) zbiega według rozkładu do zera (a nawet według prawdopodobieństwa, bo jest takie twierdzonko, że gdy zmienna losowa zbiega do jakiejś stałej według rozkładu, to i zbiega do niej według prawdopodobieństwa).
Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{ \frac{1}{2} e^{ \frac{it}{n} }}{1- \frac{1}{2}e^{ \frac{it}{n} } }=1}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) (granica punktowa). Ale 1 jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie jednopunktowym równej \(\displaystyle{ 0}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\), stąd ciąg \(\displaystyle{ X_{n}}\) zbiega według rozkładu do zera (a nawet według prawdopodobieństwa, bo jest takie twierdzonko, że gdy zmienna losowa zbiega do jakiejś stałej według rozkładu, to i zbiega do niej według prawdopodobieństwa).
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 2 razy
zbieżność ciągu zm. losowych wg rozkładu
rzeczywiście ) dziękuję bardzo-- 6 gru 2015, o 22:04 --a jak postąpić gdy mam takie paskudztwo:
\(\displaystyle{ X_n}\) o gęstości \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{2}n \textbf{1} _{[0,n^{-1}]}(x) +\frac{1}{2} \textbf{1} _{[1+n^{-1},2+n^{-1}]}(x)}\)
\(\displaystyle{ X_n}\) o gęstości \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{2}n \textbf{1} _{[0,n^{-1}]}(x) +\frac{1}{2} \textbf{1} _{[1+n^{-1},2+n^{-1}]}(x)}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
zbieżność ciągu zm. losowych wg rozkładu
Tutaj można badać zachowanie ciągu dystrybuant: jeśli \(\displaystyle{ X_{n}}\) zbiega do zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) według rozkładu, to ciąg dystrybuant \(\displaystyle{ X_{n}}\) zbiega punktowo do dystrybuanty \(\displaystyle{ X}\) we wszystkich punktach ciągłości dystrybuanty \(\displaystyle{ X}\). Okazuje się, że
\(\displaystyle{ F_{n}(t)=\mathbf{P}(X_{n} \le t)= \begin{cases}0, \text{ gdy }t < 0 \\ \frac{1}{2}nt \text{ gdy }t\in\left[ 0, \frac{1}{n}\right)\\ \frac{1}{2}, \text{ gdy }t\in \left[ \frac{1}{n},1+ \frac{1}{n}\right) \\ \frac{1}{2}\left(t-\frac 1 n \right) \text{ gdy }t\in\left[1+ \frac{1}{n},2+ \frac{1}{n}\right) \\1, \text{ gdy }t \ge 2+ \frac{1}{n} \end{cases}}\)
Co powiesz o granicy punktowej \(\displaystyle{ F_{n}}\)?
\(\displaystyle{ F_{n}(t)=\mathbf{P}(X_{n} \le t)= \begin{cases}0, \text{ gdy }t < 0 \\ \frac{1}{2}nt \text{ gdy }t\in\left[ 0, \frac{1}{n}\right)\\ \frac{1}{2}, \text{ gdy }t\in \left[ \frac{1}{n},1+ \frac{1}{n}\right) \\ \frac{1}{2}\left(t-\frac 1 n \right) \text{ gdy }t\in\left[1+ \frac{1}{n},2+ \frac{1}{n}\right) \\1, \text{ gdy }t \ge 2+ \frac{1}{n} \end{cases}}\)
Co powiesz o granicy punktowej \(\displaystyle{ F_{n}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 2 razy
zbieżność ciągu zm. losowych wg rozkładu
\(\displaystyle{ F_{n}(t)=\mathbf{P}(X_{n} \le t)= \begin{cases}0, \text{ gdy }t < 0 \\ \frac{1}{2}nt \text{ gdy }t\in\left[ 0, \frac{1}{n}\right)\\ \frac{1}{2}, \text{ gdy }t\in \left[ \frac{1}{n},1+ \frac{1}{n}\right) \\ \frac{1}{2}\left(t-\frac 1 n \right) \text{ gdy }t\in\left[1+ \frac{1}{n},2+ \frac{1}{n}\right) \\1, \text{ gdy }t \ge 2+ \frac{1}{n} \end{cases}\rightarrow\begin{cases}0, \text{ gdy }t < 0 \\ \frac{1}{2}, \text{ gdy }t\in \left[ 0,1\right) \\ \frac{1}{2}t \text{ gdy }t\in\left[1,2\right) \\1, \text{ gdy }t \ge 2 \end{cases}}\)