słaba zbieżność ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
słaba zbieżność ciągu
\(\displaystyle{ X_n}\) zm. losowa o rozkładzie geometrycznym z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
Czy ciąg \(\displaystyle{ Y_n=\exp \left( \frac{-X_n}{n} \right)}\) jest zbieżny według rozkładu?
Jak to ruszyć? Z czego najlepiej skorzystać? Z funkcji charakterystycznych?
Czy ciąg \(\displaystyle{ Y_n=\exp \left( \frac{-X_n}{n} \right)}\) jest zbieżny według rozkładu?
Jak to ruszyć? Z czego najlepiej skorzystać? Z funkcji charakterystycznych?
Ostatnio zmieniony 7 gru 2015, o 14:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
słaba zbieżność ciągu
no to mamy \(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=P(Y_n \le t)=P(X_n \ge -n \ln(t) )=-(1- \frac{1}{n} )^{-n \ln(t)} \rightarrow - \frac{1}{t}}\)
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
słaba zbieżność ciągu
Coś w tym stylu ale sporo błędów narobiłaś.
Rozważmy przypadki:
I) \(\displaystyle{ t \le 0,}\) wtedy
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=0}\)
II) \(\displaystyle{ t \ge 1,}\) wtedy
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=1}\)
III) \(\displaystyle{ 0 < t <1,}\) wtedy
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=P(Y_n \le t)=P(X_n \ge -n \ln t )=P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil )=\ldots}\)
teraz masz liczbę naturalną po prawej stronie. U ciebie nieprawdziwa jest równość \(\displaystyle{ P(X_n \ge -n \ln(t) )=-(1- \frac{1}{n} )^{-n \ln(t)},}\) po pierwsze otrzymujesz liczbę ujemną a to jest prawdopodobieństwo, po drugie \(\displaystyle{ -n \ln(t)}\) nie musi być liczbą naturalną (ani całkowitą) a zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym przyjmuje tylko wartości \(\displaystyle{ 1,2,\ldots}\) (lub \(\displaystyle{ 0,1,\ldots}\) zależy od wersji).
Rozważmy przypadki:
I) \(\displaystyle{ t \le 0,}\) wtedy
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=0}\)
II) \(\displaystyle{ t \ge 1,}\) wtedy
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=1}\)
III) \(\displaystyle{ 0 < t <1,}\) wtedy
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=P(Y_n \le t)=P(X_n \ge -n \ln t )=P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil )=\ldots}\)
teraz masz liczbę naturalną po prawej stronie. U ciebie nieprawdziwa jest równość \(\displaystyle{ P(X_n \ge -n \ln(t) )=-(1- \frac{1}{n} )^{-n \ln(t)},}\) po pierwsze otrzymujesz liczbę ujemną a to jest prawdopodobieństwo, po drugie \(\displaystyle{ -n \ln(t)}\) nie musi być liczbą naturalną (ani całkowitą) a zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym przyjmuje tylko wartości \(\displaystyle{ 1,2,\ldots}\) (lub \(\displaystyle{ 0,1,\ldots}\) zależy od wersji).
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
słaba zbieżność ciągu
Teraz to \(\displaystyle{ P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil ), t\in (0,1)}\) musisz policzyć. Przyjmijmy, że masz rozkład geometryczny o wartościach \(\displaystyle{ 0,1,\ldots}\) bo tak by wynikało z twojego poprzedniego postu, wtedy
\(\displaystyle{ P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil )=\sum_{k=a}^{\infty}P(X_n=k)=\sum_{k=\lceil-n \ln t \rceil}^{\infty}(1-\frac{1}{n})^k \frac{1}{n}=\frac{1}{n}(1-\frac{1}{n})^{\lceil-n \ln t \rceil}n=(1-\frac{1}{n})^{\lceil-n \ln t \rceil}\to t.}\)
\(\displaystyle{ P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil )=\sum_{k=a}^{\infty}P(X_n=k)=\sum_{k=\lceil-n \ln t \rceil}^{\infty}(1-\frac{1}{n})^k \frac{1}{n}=\frac{1}{n}(1-\frac{1}{n})^{\lceil-n \ln t \rceil}n=(1-\frac{1}{n})^{\lceil-n \ln t \rceil}\to t.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
słaba zbieżność ciągu
Czyli ostatecznie ciąg \(\displaystyle{ Y_n}\) jest zbieżny według rozkładu do \(\displaystyle{ Y}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ U \left( 0,1\right)}\)
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy