Zm. losowe \(\displaystyle{ X, /Y}\) są niezależne i jednakowo rozłożone o rozkładzie \(\displaystyle{ EXP(1)}\)
Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ E\left( \left( X+Y-1\right)^2|Y \right)}\)
b) \(\displaystyle{ E\left( min\left( X,Y\right)|Y^2 \right)}\)
Z pierwszym nie mam problemu, bo korzystając z własności wartości oczekiwanej (liniowość itp.), niezależności zmiennych losowych i z tego, że \(\displaystyle{ EX=1}\) dostaję, że ta wartość ocz. to \(\displaystyle{ Y^2}\)
Natomiast nie wiem jak ruszyć drugie.
wiem, że \(\displaystyle{ E\left( min\left( X,Y\right)|Y^2 \right)= \begin{cases} E(X|Y^2)=1 \ if \ X<Y \\ E(Y|Y^2)=Y if \ Y<X\end{cases}}\)
Ale co mi to daje?
Warunkowa wartość oczekiwana
-
princess691
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 2 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
mam podobny problem z liczeniem warunkowej wartości oczekiwanej gdy jest minimum albo maksimum
Warunkowa wartość oczekiwana
Zdefiniuj \(\displaystyle{ Z:=\min{\{X,Y\}}}\) oraz \(\displaystyle{ W:=Y^{2}}\).
To czego potrzebujesz aby rozwiązać to zadanie to:
1. \(\displaystyle{ f_{W}(w)}\) - gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ W}\).
2. \(\displaystyle{ f_{(Z,W)}(z,w)}\) - gęstość wektora \(\displaystyle{ (Z,W)}\).
Wówczas:
1. \(\displaystyle{ f_{Z|W}(z|w)=\frac{f_{(Z,W)}(z,w)}{f_{W}(w)}}\)
2. \(\displaystyle{ E[\min{\{X,Y\}}|Y^{2}]=E[Z|W]=\int_{-\infty}^{\infty}z f_{Z|W}(z|W)dz}\)
Zatem aby znaleźć \(\displaystyle{ f_{(Z,W)}(z,w)}\) trzeba spróbować policzyć:
\(\displaystyle{ F_{(Z,W)}(z,w)=P(Z \le z,W \le w)=P(\min{\{X,Y\}} \le z,Y^{2} \le w)=\ldots}\)
Dobrze jest rozważyć dwa przypadki:
I. \(\displaystyle{ z<w}\)
II. \(\displaystyle{ z \ge w}\)
Jeżeli to można wyliczyć to zadanie rozwiązane.
Na pewno dużo łatwiejsze byłoby zadanie znalezienia:
\(\displaystyle{ E[\min{\{X,Y\}}|Y]}\)
gdyż
\(\displaystyle{ E[f(X,Y)|Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,Y)f_{X}(x)dx}\)
o ile \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją mierzalną i \(\displaystyle{ f(X,Y)}\) jest całkowalna.
To czego potrzebujesz aby rozwiązać to zadanie to:
1. \(\displaystyle{ f_{W}(w)}\) - gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ W}\).
2. \(\displaystyle{ f_{(Z,W)}(z,w)}\) - gęstość wektora \(\displaystyle{ (Z,W)}\).
Wówczas:
1. \(\displaystyle{ f_{Z|W}(z|w)=\frac{f_{(Z,W)}(z,w)}{f_{W}(w)}}\)
2. \(\displaystyle{ E[\min{\{X,Y\}}|Y^{2}]=E[Z|W]=\int_{-\infty}^{\infty}z f_{Z|W}(z|W)dz}\)
Zatem aby znaleźć \(\displaystyle{ f_{(Z,W)}(z,w)}\) trzeba spróbować policzyć:
\(\displaystyle{ F_{(Z,W)}(z,w)=P(Z \le z,W \le w)=P(\min{\{X,Y\}} \le z,Y^{2} \le w)=\ldots}\)
Dobrze jest rozważyć dwa przypadki:
I. \(\displaystyle{ z<w}\)
II. \(\displaystyle{ z \ge w}\)
Jeżeli to można wyliczyć to zadanie rozwiązane.
Na pewno dużo łatwiejsze byłoby zadanie znalezienia:
\(\displaystyle{ E[\min{\{X,Y\}}|Y]}\)
gdyż
\(\displaystyle{ E[f(X,Y)|Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,Y)f_{X}(x)dx}\)
o ile \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją mierzalną i \(\displaystyle{ f(X,Y)}\) jest całkowalna.
-
alla2012
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
uff, próbowałam to tak zrobić ale rachunki nie są zbyt przyjemne i się poddałam.
To zadanie jest z jednego z kolokwiów tylko za 3pkt (na 50 do zdobycia) więc raczej nie powinno być aż tak monotonne do liczenia
To zadanie jest z jednego z kolokwiów tylko za 3pkt (na 50 do zdobycia) więc raczej nie powinno być aż tak monotonne do liczenia
Warunkowa wartość oczekiwana
Ogólnie
\(\displaystyle{ \sigma(Y^{2})=\sigma(\left| Y\right| )}\)
i wówczas trzeba postępować tak jak napisałem wyżej.
Niemniej jednak skoro u nas zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy, a więc przyjmuje wartości nieujemne prawie na pewno, to w tym przypadku:
\(\displaystyle{ \sigma(Y^{2})=\sigma(Y)}\)
i mamy
\(\displaystyle{ E[f(X,Y)|Y^{2}]=E[f(X,Y)|\sigma(Y^{2})]=E[f(X,Y)|\sigma(Y)]=}\)
\(\displaystyle{ =E[f(X,Y)|Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,Y)f_{X}(x)dx}\)
a to już łatwo obliczyć dla Twojej funkcji \(\displaystyle{ f(X,Y)}\) i rozkładu wykładniczego.
\(\displaystyle{ \sigma(Y^{2})=\sigma(\left| Y\right| )}\)
i wówczas trzeba postępować tak jak napisałem wyżej.
Niemniej jednak skoro u nas zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy, a więc przyjmuje wartości nieujemne prawie na pewno, to w tym przypadku:
\(\displaystyle{ \sigma(Y^{2})=\sigma(Y)}\)
i mamy
\(\displaystyle{ E[f(X,Y)|Y^{2}]=E[f(X,Y)|\sigma(Y^{2})]=E[f(X,Y)|\sigma(Y)]=}\)
\(\displaystyle{ =E[f(X,Y)|Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,Y)f_{X}(x)dx}\)
a to już łatwo obliczyć dla Twojej funkcji \(\displaystyle{ f(X,Y)}\) i rozkładu wykładniczego.