X, Y niezależne.
Mam policzyć coś takiego: \(\displaystyle{ E(X|X>Y)}\).
Rozwiązanie jest takie: \(\displaystyle{ E(X|X>Y)= \frac{E(X 1_{X>Y})}{P(X>Y)}}\)
\(\displaystyle{ E(X 1_{X>Y})= \int_{\mathbb R}^{} \int_{y}^{ \infty } x \left( \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \right)^2 e^{- \frac{1}{2} y^2} e^{- \frac{1}{2} x^2} dxdy}\)
Nie do końca rozumiem skąd wziął się ten drugi wzór. Wewnętrzna całka to wartość oczekiwana X tam, gdzie x>y, ale dlaczego potem jeszcze jest całka po gęstości Y?
Warunkowa wartość oczekiwana
Warunkowa wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ E[h(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(x,y)f(x,y)dxdy}\)
\(\displaystyle{ h(X,Y)=X\cdot 1_{X>Y}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ E[X\cdot 1_{X>Y}]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot 1_{\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon x>y\}}(x,y)\cdot f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[ \int_{y}^{+\infty}xf(x,y)dx\right] dy}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x,y)}\) to gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\).
\(\displaystyle{ h(X,Y)=X\cdot 1_{X>Y}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ E[X\cdot 1_{X>Y}]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot 1_{\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon x>y\}}(x,y)\cdot f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[ \int_{y}^{+\infty}xf(x,y)dx\right] dy}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x,y)}\) to gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\).