Rozkład Poisson'a oraz Moivre'a-Laplace'a - wynik dokładny?

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Trix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 11 lut 2012, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Rozkład Poisson'a oraz Moivre'a-Laplace'a - wynik dokładny?

Post autor: Trix »

Witam mam zadanie do wykonania:
Zakładamy, że nowy lek będzie testowany na 100 osobach. Skuteczność leku producent ocenia na 80%. Wyznaczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że u co najmniej 74 osób i co najwyżej 85 osób lek zadziała.
Obliczyć wynik przybliżony i dokładny.
Wiem, że wynik przybliżony mam policzyć przy pomocy rozkładu Moivre'a-Laplace'a, a jak dokładny? Rozkładem Poisson'a? Czy rozkład Poisson'a daje wynik dokładny? Czy może jeszcze inny rozkład?



Nie interesuje mnie rozwiązanie zadania, bo sam je rozwiążę.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Rozkład Poisson'a oraz Moivre'a-Laplace'a - wynik dokładny?

Post autor: Premislav »

Nie ma czegoś takiego, jak rozkład Moivre'a-Laplace'a (jest za to rozkład Laplace'a, ale on nie ma z tym nic wspólnego). Jest twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a. Skoro masz zastosować tw. de Moivre'a-Laplace'a, to będziesz przybliżać standardowym rozkładem normalnym.
Dokładny wynik daje rozkład dwumianowy. Popatrz na to tak: zakładamy, że masz \(\displaystyle{ 100}\) niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1},... X_{100}}\) o tym samym rozkładzie dwupunktowym - z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,8}\) masz sukces (tj. lek zadziała) - wówczas \(\displaystyle{ X_{i}=1}\), zaś z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-0,8}\) lek nie zadziała - wtedy kładziesz \(\displaystyle{ X_{i}=0}\). wówczas suma \(\displaystyle{ X_{1}+...+X_{100}}\) ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ n=100, p=0,8}\). Rozkład Poissona dawałby też przybliżenie, a nie dokładną wartość.
Trix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 11 lut 2012, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Rozkład Poisson'a oraz Moivre'a-Laplace'a - wynik dokładny?

Post autor: Trix »

Czyli w zasadzie jeszcze prostszy wzór niż w przypadku tw. Poisson'a ale obliczenia nie fajne :)

\(\displaystyle{ {100 \choose 85} * 0.8^{85} * 0.2^{15} - {100 \choose 74} * 0.8^{74} * 0.2^{26}}\)

tak?

#edit
Teraz doczytałem, że mam podać tylko wzór na dokładny wynik :)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Rozkład Poisson'a oraz Moivre'a-Laplace'a - wynik dokładny?

Post autor: Premislav »

No nie do końca, Ty odejmujesz od prawdopodobieństwa, że będzie dokładnie \(\displaystyle{ 85}\) osób, u których lek zadziała prawdopodobieństwo, że dokładnie u \(\displaystyle{ 74}\) osób lek zadziała, a to nie o to chodzi.
Powinieneś policzyć prawdopodobieństwo, że będzie nie mniej niż \(\displaystyle{ 74}\), ale nie więcej niż \(\displaystyle{ 85}\) osób, u których lek zadziała, tj. coś takiego (koszmar z ulicy Wiązów):
\(\displaystyle{ {100 \choose 74} * 0.8^{74} * 0.2^{26}+{100 \choose 75} * 0.8^{75} * 0.2^{25}+...+{100 \choose 85} * 0.8^{85} * 0.2^{15}}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}\) to nie jest wartość dystrybuanty rozkładu dwumianowego w punkcie \(\displaystyle{ k}\), tylko prawdopodobieństwo, że zajdzie dokładnie \(\displaystyle{ k}\) sukcesów.
Ja bym to wrzucił do jakiegoś programu, bo przecież nikt normalny tego nie będzie przeliczał na kartce.

Szczerze dziwi mnie to polecenie, ale dokładny wynik to dokładny wynik.
Trix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 11 lut 2012, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Rozkład Poisson'a oraz Moivre'a-Laplace'a - wynik dokładny?

Post autor: Trix »

Ok, dzięki wielkie.
ODPOWIEDZ