Niech \(\displaystyle{ X_i}\) zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\) pokaż, że
\(\displaystyle{ P(X_1+...+X_i<1)= \frac{1}{i!}}\)
Prawdopodobieństwo sumy rozkładów jednostajnych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Prawdopodobieństwo sumy rozkładów jednostajnych
Moim zdaniem brakuje tu jakiegoś założenia, chyba te zmienne losowe powinny być niezależne.
Jeśli masz takie założenie, to to prawdopodobieństwo można zapisać w postaci całki z gęstości łącznej (którą dzięki niezależności znasz) wektora losowego \(\displaystyle{ (X_{1},...X_{i})}\) po zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ (x_{1},...x_{i}) \in [0,1]^{i}: \sum_{k=1}^{i}x_{k}<1 \right\}}\), a jak to zamienisz na całki iterowane (Fubini) to dostaniesz
o coś takiego np.:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x_{1}} ... \int_{0}^{1-x_{1}-...-x_{i-1}}\mbox{d}x_{i}...\mbox{d}x_{2}\mbox{d}x_{1}}\)
no i to się łatwo całkuje.
Ewentualnie można spróbować wyznaczyć rozkład tej sumy, ale jakoś funkcja charakterystyczna wychodzi powalona z lekka (może po prostu nie pamiętam funkcji charakterystycznej jakiegoś znanego rozkładu), a prawie nikt nie lubi liczyć splotów i-krotnych dla \(\displaystyle{ i>2}\) (no może \(\displaystyle{ i>3}\)), więc jednak nie brałbym tej opcji.
Jeśli masz takie założenie, to to prawdopodobieństwo można zapisać w postaci całki z gęstości łącznej (którą dzięki niezależności znasz) wektora losowego \(\displaystyle{ (X_{1},...X_{i})}\) po zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ (x_{1},...x_{i}) \in [0,1]^{i}: \sum_{k=1}^{i}x_{k}<1 \right\}}\), a jak to zamienisz na całki iterowane (Fubini) to dostaniesz
o coś takiego np.:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x_{1}} ... \int_{0}^{1-x_{1}-...-x_{i-1}}\mbox{d}x_{i}...\mbox{d}x_{2}\mbox{d}x_{1}}\)
no i to się łatwo całkuje.
Ewentualnie można spróbować wyznaczyć rozkład tej sumy, ale jakoś funkcja charakterystyczna wychodzi powalona z lekka (może po prostu nie pamiętam funkcji charakterystycznej jakiegoś znanego rozkładu), a prawie nikt nie lubi liczyć splotów i-krotnych dla \(\displaystyle{ i>2}\) (no może \(\displaystyle{ i>3}\)), więc jednak nie brałbym tej opcji.