Niech \(\displaystyle{ \Omega=[0,1] \times [0,1]}\) z \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą zbiorów borelowskich, a \(\displaystyle{ P}\) niech będzie miarą Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \Omega}\). Niech \(\displaystyle{ \xi(x,y)=x}\) i \(\displaystyle{ \eta(x,y)=y}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ E(Z|\mathcal{G})}\) jeśli \(\displaystyle{ Z=\xi^2\eta, \mathcal{G}=\sigma(\eta)}\).
Biorę więc \(\displaystyle{ (x,y) \in \Omega}\). Wtedy \(\displaystyle{ Z(x,y)=x^2y}\). \(\displaystyle{ \mathcal{G}=\sigma(\eta)}\), więc mam jakąś informację o \(\displaystyle{ y}\). Stąd licząc całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^2ydx=1/3y}\). Podejrzewam więc, że \(\displaystyle{ E(\xi^2y|\sigma(\eta))=1/3\eta}\).
Chciałbym teraz to pokazać formalnie, czyli sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \forall A \in \sigma(\eta) \int_{A}\xi^2\eta dP = \int_{A}1/3 \eta dP}\).
I tu moje pytanie - w jaki sposób mogę to sprawdzić? Nie rozważę przecież wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebry. Czy wystarczy pokazać to na generatorach, czyli np. policzyć te całki na jakiejś kostce należącej do zbioru \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\)? Jeśli tak, to co pozwala nam wnioskować, że jeśli mamy równość takich całek na generatorach to równość zajdzie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebry?