Wzór Bayesa

[spin2015]

Mam takie zadanie: Wojtek miał w portfelu monety: N złotówek i M pięciozłotówek, ale zgubił jedną monetę i nie wie o jakim nominale. Wyciągnięte losowo z portfela dwie monety okazały się złotówkami. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zgubiona monet była złotówką?

Doszedłem do tego:

A-zgubiona złotówka
B-wybrano 2 złotówki
C-zgubiona 5-cio złotówka

\(\displaystyle{ P(A \setminus B) = \frac{P(B \setminus A) \cdot P(A)}{P(B \setminus C) \cdot P(C)+P(B \setminus A) \cdot P(B)}}\)

Chciałbym to teraz zamienić na M i N, ktoś pomoże

[liu]

Miałem w portfelu \(\displaystyle{ M}\) piątaków i \(\displaystyle{ N}\) złotówek i wiem, że zgubiłem jedną złotówkę. Zatem zostało mi \(\displaystyle{ M + N -1}\) monet, w tym \(\displaystyle{ M-1}\) złotówek.

Wyciągam z portfela dwie monety po kolei ( i nie wkładam pierwszej monety z powrotem po wyciągnięciu pierwszej, to ciche założenie w zadaniu), mogę to zrobić na \(\displaystyle{ (M+N-1)(M+N-2)}\) sposobów.
Żebym wybrał 2 złotówki, muszę za pierwszym razem wybrać spośród \(\displaystyle{ M-1}\) monet, a za drugim spośród \(\displaystyle{ M-2}\) (bo jedną już wziąłem). Zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(B |A) = \frac{(M-1)(M-2)}{(M+N-1)(M+N-2)}}\)

Reszta analogicznie.

[spin2015]

Licznik z powyższego mojego postu to
\(\displaystyle{ \frac{n}{m+n} * {n-1 \choose 2} : {m+n-1 \choose 2}}\)

mianownik

\(\displaystyle{ \frac{{m \choose 2} }{ {m+n-1 \choose 2} } * \frac{m}{m+n} + \frac{ {n-1 \choose 2} }{ {m+n-1 \choose 2} } * \frac{n}{m+n}}\)

czy to mam dobrze?