Dzień dobry,
przekopałem się przez większość postów o kulach i urnach, ale w większości są to zadania z kombinatoryki..
K kul umieszczono w n urnach. Każde "umieszczenie kuli w urnie" jest zdarzeniem niezależnym. Niestety, prawdopodobieństwo znalezienia się kuli w danej urnie jest inne:
\(\displaystyle{ P(u=1) = 0,1 \newline
P(u=2) = 0,2 \newline
P(u=3) = 0,7}\)
(rozkład ten jest dany, ale przykładowy)
W ilu różnych urnach znajdą się kule? (i z jakim prawdopodobieństwem).
Dla niewielkich K i n można rozważać wszystkie opcje i liczyć sukcesy dla każdej urny z osobna, korzystając ze schematu Bernoulliego. Ale szukam ogólniejszego rozwiązania.
Myślałem też o analogiach z prawdopodobieństwem geometrycznym (na przykład k-rzutów do tarczy o n-polach), ale nie doprowadziło mnie to nigdzie.
Macie może jakiś pomysł?
K kul w n urnach z różnym prawdopodobieństwem
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
K kul w n urnach z różnym prawdopodobieństwem
Można konkretny problem, jaki Cię tu ściągnął z tym zadaniem, bo przy ogólnych danych rozkład da się podać jedynie jako sumę
K kul w n urnach z różnym prawdopodobieństwem
Tak i właśnie próbuję dojść jak się ogólnie tę sumę konstruuje. Dla konkretnych przypadków radzę sobie;)
Jest to problem obliczenia najbardziej prawdopodobnej liczby paczek, które będziemy musieli wysłać do klientów, zakładając, że:
1. jedno zamówienie może obejmować od 1 do k przedmiotów. (praktycznie k<=10).
2. towar jest umieszczony nierównomiernie na ok 20 magazynach, ilość sztuk towaru. na każdym magazynie jest znana.
3. towar nie jest pogrupowany w żaden szczególny sposób.
A że to mały kawałek dużego problemu optymalizacyjnego, to szukam możliwie ogólnych wzorów.
Jest to problem obliczenia najbardziej prawdopodobnej liczby paczek, które będziemy musieli wysłać do klientów, zakładając, że:
1. jedno zamówienie może obejmować od 1 do k przedmiotów. (praktycznie k<=10).
2. towar jest umieszczony nierównomiernie na ok 20 magazynach, ilość sztuk towaru. na każdym magazynie jest znana.
3. towar nie jest pogrupowany w żaden szczególny sposób.
A że to mały kawałek dużego problemu optymalizacyjnego, to szukam możliwie ogólnych wzorów.
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
K kul w n urnach z różnym prawdopodobieństwem
A nie wystarczy średnia ważona. Prawdopodobieństwo to tutaj szansa wyjazdu do danego magazynu?
K kul w n urnach z różnym prawdopodobieństwem
Może słabo się wyraziłem;) Towar już znajduje się w n-magazynach. Na stronę sklepu internetowego wchodzi klient i dokonuje zamówienia na k-towarów. Są one wysyłane z magazynu na którym się znajdują prosto do klienta. Staram się oszacować potrzebną liczbę paczek. I w zasadzie średnia byłaby zadowalająca, ale nie wiem jak ją wyznaczyć.
Niech, na przykład, n=3 (jak w pierwszym poście), a k=4. Wówczas możliwe są przypadki:
1. Wszystkie 4 sztuk tow. znajdują się w jednym magazynie. Prawdopodobieństwo takiego scenariusza to : \(\displaystyle{ {4 \choose 4} 0,1^{4}(1-0,1)^{4-4} + {4 \choose 4} 0,2^{4}(1-0,2)^{4-4} + {4 \choose 4} 0,7^{4}(1-0,7)^{4-4}}\)
2. 3 sztuki na tym samy magazynie, 1 na innym:
\(\displaystyle{ {4 \choose 3} 0,1^{3}(1-0,1)^{4-3} + {4 \choose 3} 0,2^{3}(1-0,2)^{4-3} + {4 \choose 3} 0,7^{3}(1-0,7)^{4-3}}\)
3. po dwie sztuki na dwóch magazynach:
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} 0,1^{2}(1-0,1)^{4-2}*{4 \choose 2} 0,2^{2}(1-0,2)^{4-2}+ \newline
{4 \choose 2} 0,1^{2}(1-0,1)^{4-2}*{4 \choose 2} 0,7^{2}(1-0,7)^{4-2}+ \newline
{4 \choose 2} 0,2^{2}(1-0,2)^{4-2}*{4 \choose 2} 0,7^{2}(1-0,7)^{4-2}\newline}\)
4. Każda na innym: reszta do jedynki.
Rozpisanie wszystkich możliwości, aż do k=10 trochę mnie przytłacza i liczyłem na "zgrabniejsze" rozwiązanie;)
Niech, na przykład, n=3 (jak w pierwszym poście), a k=4. Wówczas możliwe są przypadki:
1. Wszystkie 4 sztuk tow. znajdują się w jednym magazynie. Prawdopodobieństwo takiego scenariusza to : \(\displaystyle{ {4 \choose 4} 0,1^{4}(1-0,1)^{4-4} + {4 \choose 4} 0,2^{4}(1-0,2)^{4-4} + {4 \choose 4} 0,7^{4}(1-0,7)^{4-4}}\)
2. 3 sztuki na tym samy magazynie, 1 na innym:
\(\displaystyle{ {4 \choose 3} 0,1^{3}(1-0,1)^{4-3} + {4 \choose 3} 0,2^{3}(1-0,2)^{4-3} + {4 \choose 3} 0,7^{3}(1-0,7)^{4-3}}\)
3. po dwie sztuki na dwóch magazynach:
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} 0,1^{2}(1-0,1)^{4-2}*{4 \choose 2} 0,2^{2}(1-0,2)^{4-2}+ \newline
{4 \choose 2} 0,1^{2}(1-0,1)^{4-2}*{4 \choose 2} 0,7^{2}(1-0,7)^{4-2}+ \newline
{4 \choose 2} 0,2^{2}(1-0,2)^{4-2}*{4 \choose 2} 0,7^{2}(1-0,7)^{4-2}\newline}\)
4. Każda na innym: reszta do jedynki.
Rozpisanie wszystkich możliwości, aż do k=10 trochę mnie przytłacza i liczyłem na "zgrabniejsze" rozwiązanie;)