n osiedli jest położonych wzdłuż drogi w odległości 1 od siebie. Osiedla obsługuje jedna karetka pogotowia. Każde kolejne wezwanie z jednakowym prawdopodobieństwem pochodzi z dowolnego punktu i zostaje natychmiast przekazane do karetki, która oczekuje na nie w osiedlu, w którym znajduje się ostatni chory. Jaka jest średnia odległość przejeżdżania przez karetkę w czasie jednego kursu?
X - nr osiedla, przy którym stoi karetka
Y - odległość przejechana przez karetkę w czasie jednego kursu
Mam policzyć \(\displaystyle{ E(Y)}\).
Chcę skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ E(Y)=E(E(Y|X))}\).
Próbowałam tak: \(\displaystyle{ E(Y|X=x)= \sum_{i=0}^{x} i \frac{2}{n} + \sum_{i=x+1}^{n-x} i \frac{1}{n}}\)
Bo najmniejsza odległość, jaką może przejechać to \(\displaystyle{ 0}\), a największa - \(\displaystyle{ n-x}\).
Przy odległości mniejszej niż x, karetka ma dwa osiedla do wyboru, dlatego \(\displaystyle{ p= \frac{2}{n}}\).
Ale to działa tylko dla \(\displaystyle{ x< \frac{n}{2}}\)
Może ktoś podpowiedzieć jak to zrobić?
warunkowa wartość oczekiwana, średnia odległość
warunkowa wartość oczekiwana, średnia odległość
Pozbierajmy tematy:
Temat 1
Temat 2
Propozycja rozwiązania:
\(\displaystyle{ X}\) - długość jednego kursu karetki
\(\displaystyle{ A_{i}}\) - karetka przed wyjazdem jest w \(\displaystyle{ i}\)-tym osiedlu
\(\displaystyle{ P(A_{i})=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \Omega= \bigcup_{}^{} _{i=1}^{n}A_{i}}\)
\(\displaystyle{ A_{i}}\) - zdarzenia rozłączne
Szukamy: \(\displaystyle{ E[X]}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ E[X]=\int_{\Omega}XdP=\sum_{i=1}^{n}\int_{A_{i}}XdP=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{P(A_{i})}\int_{A_{i}}XdP\cdot P(A_{i})=\sum_{i=1}^{n}E[X|A_{i}]P(A_{i})}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ E[X|A_{i}]=\sum_{j=1}^{n}\left| i-j\right| \cdot \frac{1}{n}}\) - [url=http://www.matematyka.pl/368999.htm]więcej informacji post użytkownika _radek[/url]
Zatem:
\(\displaystyle{ E[X|A_{i}]=\frac{1}{n}\left( \sum_{j=1}^{i-1}(i-j)+\sum_{j=i+1}^{n}(j-i)\right)=\frac{1}{n}\left( \sum_{j=1}^{i-1}i-\sum_{j=1}^{i-1}j+\sum_{j=i+1}^{n}j-\sum_{j=i+1}^{n}i\right)}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{n}\left( (i-1)i-\frac{1+i-1}{2}(i-1)+\frac{i+1+n}{2}(n-i)-(n-i)i\right)}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{n}\left(\frac{i(i-1)}{2}+\frac{(n-1)(n+1-i)}{2}\right)}\)
Oznacza to, że
\(\displaystyle{ E[X]=\sum_{i=1}^{n}E[X|A_{i}]P(A_{i})=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{i(i-1)}{2}+\frac{(n-1)(n+1-i)}{2}\right)\cdot \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\left(\frac{i(i-1)}{2}+\frac{(n-1)(n+1-i)}{2}\right)=\ldots=\frac{(n-1)(n+1)}{3n}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ E[X]=\frac{(n-1)(n+1)}{3n}}\)
Temat 1
Temat 2
Propozycja rozwiązania:
\(\displaystyle{ X}\) - długość jednego kursu karetki
\(\displaystyle{ A_{i}}\) - karetka przed wyjazdem jest w \(\displaystyle{ i}\)-tym osiedlu
\(\displaystyle{ P(A_{i})=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \Omega= \bigcup_{}^{} _{i=1}^{n}A_{i}}\)
\(\displaystyle{ A_{i}}\) - zdarzenia rozłączne
Szukamy: \(\displaystyle{ E[X]}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ E[X]=\int_{\Omega}XdP=\sum_{i=1}^{n}\int_{A_{i}}XdP=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{P(A_{i})}\int_{A_{i}}XdP\cdot P(A_{i})=\sum_{i=1}^{n}E[X|A_{i}]P(A_{i})}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ E[X|A_{i}]=\sum_{j=1}^{n}\left| i-j\right| \cdot \frac{1}{n}}\) - [url=http://www.matematyka.pl/368999.htm]więcej informacji post użytkownika _radek[/url]
Zatem:
\(\displaystyle{ E[X|A_{i}]=\frac{1}{n}\left( \sum_{j=1}^{i-1}(i-j)+\sum_{j=i+1}^{n}(j-i)\right)=\frac{1}{n}\left( \sum_{j=1}^{i-1}i-\sum_{j=1}^{i-1}j+\sum_{j=i+1}^{n}j-\sum_{j=i+1}^{n}i\right)}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{n}\left( (i-1)i-\frac{1+i-1}{2}(i-1)+\frac{i+1+n}{2}(n-i)-(n-i)i\right)}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{n}\left(\frac{i(i-1)}{2}+\frac{(n-1)(n+1-i)}{2}\right)}\)
Oznacza to, że
\(\displaystyle{ E[X]=\sum_{i=1}^{n}E[X|A_{i}]P(A_{i})=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{i(i-1)}{2}+\frac{(n-1)(n+1-i)}{2}\right)\cdot \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\left(\frac{i(i-1)}{2}+\frac{(n-1)(n+1-i)}{2}\right)=\ldots=\frac{(n-1)(n+1)}{3n}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ E[X]=\frac{(n-1)(n+1)}{3n}}\)