Rozkład jednopunktowy

[Arytmetyk]

Mam wydawałoby się taki prosty problem:

Przy liczeniu dystrybuant granicznych wychodzi mi często taka dystrybuanta graniczna:

\(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t < 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) dla \(\displaystyle{ t=1}\)

\(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ t > 1}\)

Z tego co widzę z notatek to jest to jest to rozkład jednopunktowy i rzekomo \(\displaystyle{ P(X=1)=1}\)

Widać, że \(\displaystyle{ P(X=1)=1- \frac{1}{e}}\) , ale z drugiej strony nie znajdę tutaj drugiego punktu skokowego prócz jedynki.

Z góry dzięki za pomoc

[szw1710]

Prawdopodobieństwo to wielkość skoku. A skok w jedynce ma wartość \(\displaystyle{ 1}\). Wartość w samym punkcie \(\displaystyle{ 1}\) nie ma żadnego znaczenia. Masz \(\displaystyle{ P(X=a)=F(a^+)-F(a^-)}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą dowolnego rozkładu. W szczególności, jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a}\) , mamy \(\displaystyle{ P(X=a)=0}\).

[Arytmetyk]

Czyli w w praktyce ten wzorek \(\displaystyle{ P(X=a)=F(a^+)-F(a^-)}\) jest lepszy do stosowania bo działa w porządnych przypadkach i takich jak tutaj; wcześniej korzystałem z \(\displaystyle{ P(X=a)=F(a^+)-F(a)}\)

Chodź w sumie dalej dziwi mnie, że wychodzi taka dystrybuanta przy rozkładzie jednopunktowym. Z formalnego punktu widzenia jakie znaczenie ma tutaj ten punkt pośredni przy skoku gdzie \(\displaystyle{ F(1)= \frac{1}{e}}\) (czemu "nie ma on żadnego znaczenia")?

PS.

Czy dlatego, że jest to rozkład graniczny, więc bierzemy pod uwagę tylko punkty ciągłości dystrybuanty granicznej? Jeśli tak to wtedy rzeczywiście mamy dystrybuantę rozkładu jednopunktowego.

[szw1710]

"Mój wzór" obejmuje obie definicje dystrybuanty. Jeśli określimy \(\displaystyle{ F(x)=P(X\le x)}\), to jest prawostronnie ciągła i mamy \(\displaystyle{ P(X=a)=F(a)-F(a^-)}\). Jeśli określimy \(\displaystyle{ \,F(x)=P(X<x)}\), to jest lewostronnie ciągła i mamy \(\displaystyle{ P(X=a)=F(a^+)-F(a)}\) jak piszesz.

W tym sensie Twój graniczny przypadek nie będzie dystrybuantą. Obie definicje dają ciągłość jednostronną.

Może sprecyzuj problem, w którym Ci te rzeczy wychodzą.