Jest ok.
Spróbuj policzyć \(\displaystyle{ E[X^{2}|X+Y]}\) korzystając z (przed własnościami WWO).
Rachunki mogą być długie.
Warunkowa wartość oczekiwana
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Nawet zauważyłem, że mam materiały, pozwalające na obliczenie tego właśnie. Jednak to już było po twojej odpowiedzi, więc stwierdziłem, że zobaczymy jaki ty masz pomysł na to No i próbowałem też tymi całkami. Nie wiem czy dobrze zacząłem.
Zrobiłem podstawienie: \(\displaystyle{ U=X^2, V=X+Y \implies x=\sqrt u, y=v-\sqrt v}\). Stworzyłem jakobian:
\(\displaystyle{ J=\left| \begin{array}{cc}
\frac{1}{2\sqrt u}& 0 \\
\frac{-1}{2\sqrt u}& 1
\end{array}\right|=\frac{1}{2\sqrt u}}\)
Za \(\displaystyle{ g}\) wziąłem wymnożenie dwóch gęstości i jakobianu - nie wiem czy to dobre, bo nie pamiętam jak się tworzy gęstość rozkładu łącznego z brzegowych :x A więc \(\displaystyle{ g(x(u,v),y(u,v))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{x^2}{2}\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{y^2}{2}\right) \frac{1}{2\sqrt u}=\frac{1}{2\pi}\exp\left( -\frac{|u|}{2}-\frac{(v-\sqrt u)^2}{2}\right)}\)
A całki z tego po \(\displaystyle{ u}\) nie umiem policzyć. Nie wiem jednak czy ta funkcja jest dobrze zbudowana.
Zrobiłem podstawienie: \(\displaystyle{ U=X^2, V=X+Y \implies x=\sqrt u, y=v-\sqrt v}\). Stworzyłem jakobian:
\(\displaystyle{ J=\left| \begin{array}{cc}
\frac{1}{2\sqrt u}& 0 \\
\frac{-1}{2\sqrt u}& 1
\end{array}\right|=\frac{1}{2\sqrt u}}\)
Za \(\displaystyle{ g}\) wziąłem wymnożenie dwóch gęstości i jakobianu - nie wiem czy to dobre, bo nie pamiętam jak się tworzy gęstość rozkładu łącznego z brzegowych :x A więc \(\displaystyle{ g(x(u,v),y(u,v))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{x^2}{2}\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{y^2}{2}\right) \frac{1}{2\sqrt u}=\frac{1}{2\pi}\exp\left( -\frac{|u|}{2}-\frac{(v-\sqrt u)^2}{2}\right)}\)
A całki z tego po \(\displaystyle{ u}\) nie umiem policzyć. Nie wiem jednak czy ta funkcja jest dobrze zbudowana.
Warunkowa wartość oczekiwana
Korzystając z tego linku co wyżej mamy chyba coś takiego:
\(\displaystyle{ E[X^{2}|Z]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f_{X|Z}(x|Z)dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).
Trzeba policzyć \(\displaystyle{ f_{X|Z}(x|Z)}\).
\(\displaystyle{ E[X^{2}|Z]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f_{X|Z}(x|Z)dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).
Trzeba policzyć \(\displaystyle{ f_{X|Z}(x|Z)}\).
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Szukamy \(\displaystyle{ \EE(U|V)}\). Napisali, że mamy najpierw znaleźć rozkład \(\displaystyle{ (U,V)}\) i opisać go gęstością \(\displaystyle{ g}\), po czym znaleźć \(\displaystyle{ g_V(v)=\int_\RR g(u,v) \, du}\). I to właśnie tej całki policzyć nie umiem.
Potem rzeczywiście znajdziemy \(\displaystyle{ \EE(U|V)=\int_\RR u \cdot \frac{g(u,v)}{g_V(v)} \, du}\)
Potem rzeczywiście znajdziemy \(\displaystyle{ \EE(U|V)=\int_\RR u \cdot \frac{g(u,v)}{g_V(v)} \, du}\)
Warunkowa wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ f_{X|Z}(x|Z)=\frac{f_{(X,Z)}(x,z)}{f_{Z}(z)}}\)
\(\displaystyle{ f_{Z}(z)}\) - damy radę łatwo wyznaczyć bo znamy rozkłady \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
Musimy znaleźć gęstość wektora \(\displaystyle{ (X,Z)}\).
Nie wiem czy dobrze pamiętam (jest 7 rano) ale chyba mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=g_{(X,Y)}(x,y)\cdot |J|}\)
gdzie \(\displaystyle{ X(U,V)}\) i \(\displaystyle{ Y(U,V)}\)
Jeżeli tak, to:
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Z)}(x,z)=g_{(X,Y)}(x,y)\cdot |J|}\)
\(\displaystyle{ =g_{(X,Y)}(x,x-Z)\cdot 1=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(x-Z)}\)
bo \(\displaystyle{ U=X}\), \(\displaystyle{ V=Z=X+Y}\) i mamy \(\displaystyle{ X=U}\) oraz \(\displaystyle{ Y=U-V}\), a dokładniej \(\displaystyle{ X=X}\) oraz \(\displaystyle{ Y=X-Z}\).
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
Jeżeli nie namieszałem, to
\(\displaystyle{ f_{X|Z}(x|Z)=\frac{f_{(X,Z)}(x,z)}{f_{Z}(z)}=\frac{ f_{X}(x)\cdot f_{Y}(x-Z)}{f_{Z}(z)}}\)
\(\displaystyle{ f_{Z}(z)}\) - damy radę łatwo wyznaczyć bo znamy rozkłady \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
Musimy znaleźć gęstość wektora \(\displaystyle{ (X,Z)}\).
Nie wiem czy dobrze pamiętam (jest 7 rano) ale chyba mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=g_{(X,Y)}(x,y)\cdot |J|}\)
gdzie \(\displaystyle{ X(U,V)}\) i \(\displaystyle{ Y(U,V)}\)
Jeżeli tak, to:
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Z)}(x,z)=g_{(X,Y)}(x,y)\cdot |J|}\)
\(\displaystyle{ =g_{(X,Y)}(x,x-Z)\cdot 1=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(x-Z)}\)
bo \(\displaystyle{ U=X}\), \(\displaystyle{ V=Z=X+Y}\) i mamy \(\displaystyle{ X=U}\) oraz \(\displaystyle{ Y=U-V}\), a dokładniej \(\displaystyle{ X=X}\) oraz \(\displaystyle{ Y=X-Z}\).
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
Jeżeli nie namieszałem, to
\(\displaystyle{ f_{X|Z}(x|Z)=\frac{f_{(X,Z)}(x,z)}{f_{Z}(z)}=\frac{ f_{X}(x)\cdot f_{Y}(x-Z)}{f_{Z}(z)}}\)