Warunkowa wartość oczekiwana

[musialmi]

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym. Oblicz \(\displaystyle{ \EE (X^2|X+Y=t)}\).

Sobie pomyślałem tak: zróbmy podstawienie \(\displaystyle{ Z=X+Y}\). Wtedy \(\displaystyle{ X^2=(Z-Y)^2}\). Jaki rozkład ma \(\displaystyle{ Z}\)? Sprawdźmy to funkcją charakterystyczną:
\(\displaystyle{ \varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}=e^{-t^2}}\), czyli \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,\sqrt 2)}\).

Liczymy \(\displaystyle{ \EE (X^2|X+Y)=\EE((Z-Y)^2|Z)=\EE(Z^2|Z)-2\EE(ZY|Z)+\EE(Y^2|Z)}\).

Nie wiem co dalej. Nie wiem nawet czy pchnąłem to zadanie do przodu.

[Kartezjusz]

Zbadaj czy \(\displaystyle{ Z^2}\)jest Z mierzalna. Co powiesz stosunku \(\displaystyle{ Y}\)do \(\displaystyle{ \sigma}\)ciała generowanego przez \(\displaystyle{ X}\)

[musialmi]

\(\displaystyle{ Z^2}\) powinna być \(\displaystyle{ Z}\)-mierzalna chyba, ale nie wiem jak to formalnie zbadać dla tak dowolnych funkcji.

\(\displaystyle{ X,Y}\) mają ten sam rozkład, więc chyba sigma-ciała przez nie generowane są takie same, jeśli czerpią zdarzenia z tej samej przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\)?

[Alef]

\(\displaystyle{ 4X^{2}=(X-Y+Y+X)^{2}=(X-Y)^{2}+2(X-Y)(X+Y)+(X+Y)^{2}}\)

Sprawdź czy w tym przypadku zmienne losowe \(\displaystyle{ Z_{1}=X-Y}\) i \(\displaystyle{ Z_{2}=X+Y}\) są niezależne.

Jeżeli są niezależne, to masz wszystko co potrzeba aby szybko policzyć \(\displaystyle{ E[X^{2}|X+Y=t]}\).

[musialmi]

Chyba nie umiem. Sprawdziłem jedynie wartościami oczekiwanymi i nie wyszło, że nie są niezależne. Czy żeby to zbadać, muszę znać rozkład \(\displaystyle{ Z_1}\)?

[Alef]

Jeżeli wyjdzie Ci korelacja zmiennych losowych o rozkładzie normalnym równa zero, to ów zmienne losowe są niezależne.

A żeby sprawdzić czy korelacja jest równa zero wystarczy sprawdzić czy kowariancja jest równa zero.

[musialmi]

Aha, czyli można to tutaj badać wartościami oczekiwanymi. Nie zna(łe)m tego twierdzenia. To jest całe jego wypowiedzenie, czy jakiś szczególny przypadek?

\(\displaystyle{ E[4X^{2}|X+Y]=\EE\left( (X-Y)^2 | X+Y\right) + 0 + \EE\left( (X+Y)^2 | X+Y\right)}\)
i teraz...?

[Alef]

Ja pisałem poprzedniego posta tylko i wyłącznie w kontekście jak zbadać niezależność dwóch zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.

Załóżmy, że policzyłeś i okazało się: \(\displaystyle{ Cov(Z_{1},Z_{2})=0}\). Wniosek: \(\displaystyle{ X-Y}\) oraz \(\displaystyle{ X+Y}\) są niezależne.

Można z tego skorzystać aby wyliczyć \(\displaystyle{ E[X^{2}|X+Y]}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ E[4X^{2}|X+Y]=\EE\left( (X-Y)^2 | X+Y\right) + 0 + \EE\left( (X+Y)^2 | X+Y\right)}\)

\(\displaystyle{ =E[(X-Y)^{2}]+(X+Y)^{2}=2+(X+Y)^{2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ E[X^{2}|X+Y]=\frac{1}{2}+\frac{(X+Y)^{2}}{4}}\)

[musialmi]

Dziękuję. Czy są twierdzenia, które mówią
a) kiedy \(\displaystyle{ f(X)}\) jest \(\displaystyle{ X}\)-mierzalna;
b) kiedy \(\displaystyle{ f(X)}\) jest niezależna od \(\displaystyle{ Y}\) przy niezależności \(\displaystyle{ X, Y}\)?

[Alef]

a)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_mierzalna

b) Tw. Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) niezależne zmienne losowe, \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) funkcje borelowskie, to zmienne losowe \(\displaystyle{ f(X)}\) i \(\displaystyle{ g(Y)}\) są niezależne.

[musialmi]

Dziękuję za pomoc. Mam jeszcze takie zadanko, ono jest chyba właśnie na skorzystanie z takich twierdzeń:
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3}\) będą niezależne o skończonych drugich momentach. Znajdź:
a) \(\displaystyle{ \EE\left( X_1^2+2X_2^2 | X_1\right)}\)
b) \(\displaystyle{ \EE\left( (X_1+X_2)^2| X_1\right)}\)
c) \(\displaystyle{ \EE\left( (X_1+X_2+X_3)^2|(X_1+X_2) \right)}\)

a) \(\displaystyle{ \EE\left( X_1^2+2X_2^2 | X_1\right)=\EE(X_1^2|X_1)+2\EE(X_2^2|X_1)}\).
\(\displaystyle{ X_1^2}\) jest \(\displaystyle{ X_1}\)-mierzalna, bo jest iloczynem dwóch funkcji \(\displaystyle{ X_1}\)-mierzalnych. Zatem \(\displaystyle{ \EE(X_1^2|X_1)=X}\).
\(\displaystyle{ X_2^2}\) jest niezależna od \(\displaystyle{ X_1}\) (na mocy twierdzenia z twojego ostatniego posta b)), więc ich sigma-ciała są od siebie niezależne, zatem \(\displaystyle{ \EE(X_2^2|X_1)=\EE X_2^2}\)

Zatem \(\displaystyle{ \EE\left( X_1^2+2X_2^2 | X_1\right)=X+2\EE X_2^2}\). Czy dobrze?

[Alef]

\(\displaystyle{ \EE(X_1^2|X_1)=X_{1}^{2}}\)

\(\displaystyle{ \EE\left( X_1^2+2X_2^2 | X_1\right)=X_{1}^{2}+2\EE \left[ X_2^2\right]}\)

[musialmi]

Jeny, jakie to było z mojej strony żałosne - przepisanie twierdzenia z zeszytu, bez zamiany oznaczeń <XD>

b) \(\displaystyle{ \EE\left( (X_1+X_2)^2| X_1\right)=\EE(X_1^2|X_1)+2\EE(X_1X_2|X_1)+\EE(X_2^2|X_1)=X_1^2+2\EE(X_1X_2|X_1)+\EE X_2^2}\)

Pozostaje problem: co to jest \(\displaystyle{ \EE(X_1X_2|X_1)}\)? Gdyby \(\displaystyle{ X_1}\) była ograniczona, to można by napisać \(\displaystyle{ \EE(X_1X_2|X_1)=X_1 \cdot \EE(X_2|X_1)=X_1 \cdot \EE X_2}\). Ale nie ma takiego założenia, więc co innego można zrobić?

[Alef]

[musialmi]

Hm, ciekawe, że na wykładzie tego nie miałem

c)
\(\displaystyle{ \EE\left( (X_1+X_2+X_3)^2|(X_1+X_2) \right)=\\
=\EE((X_1+X_2)^2|(X_1+X_2))+2\EE((X_1+X_2)X_3|(X_1+X_2))+\EE(X_3^2|(X_1+X_2))=\\
=(X_1+X_2)^2+2 \cdot (X_1+X_2) \EE(X_3|(X_1+X_2))+\EE(X_3^2)=\\
=(X_1+X_2)^2+2 \cdot (X_1+X_2) \EE(X_3)+\EE(X_3^2)}\)

Jako podsumowanie dwóch poprzednich punktów. Dziękuję!