Gęstość pewnego ilorazu

[Arytmetyk]

Niech \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależne, obie mają rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)

Chcę wyznaczyć gęstość ilorazu, gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}}\)

Znam gęstości przegowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) więc mogę policzyć gęstość wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\)

\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{\lambda ^2} e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda} }}\)
dla \(\displaystyle{ (x,y)}\) należących do pierwszej ćwiartki ukł. współrz.

Najpierw chcę wyznaczyć dystrybuantę K zm. los. U:

\(\displaystyle{ P(U < u)= P( \frac{X}{Y} < u)= \iint_{D}f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y) : \frac{X}{Y} < u\right\}}\)

Uwzględniając zbiór D i to, że gęstość jest niezerowa w I ćwiartce, zostaje mi do scałkowania taki nieskończony trójkąt.

Teraz przez D oznaczę ten trójkąt.

I w sumie tutaj się pojawia moje pytanie, czy dotąd robię dobrze:

\(\displaystyle{ \iint_{D}f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y= \frac{1}{\lambda ^2} \int_{0}^{ \infty } \int_{x/u}^{ \infty } e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)

[Premislav]

Ojej, a od kiedy to rozkład Poissona ma gęstość? Nie miałeś czasem na myśli wykładniczego?

Ale jeśli chodzi Ci o wykładniczy, to wygląda OK. Tylko pamiętaj, że to działa dla \(\displaystyle{ u>0,}\) dla mniejszych oczywiście ta dystrybuanta przyjmuje wartość zero.

[Arytmetyk]

Tak oczywiście chodziło mi o rozkład wykładniczy, jeszcze raz to przeliczyłem i jestem blisko wyniku bo wychodzi mi dystrybuanta \(\displaystyle{ \frac{u}{u+1}}\) ale tego błędu rachunkowego już nie mogę wykryć ; /

[Premislav]

No niestety zepsuła mi się moja kryształowa kula, ci Chinole za bardzo tną koszta. Nie wiem więc, gdzie popełniasz błąd rachunkowy.

Przeliczyłem to na dwa sposoby:
1. Kontynuując Twoją metodą
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda ^2} \int_{0}^{ \infty } \int_{x/u}^{ \infty } e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}} \mbox{d}y \mbox{d}x= \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty}e^{- \frac{x}{\lambda} \cdot \frac{u+1}{u} }\mbox{d}x= \frac{u}{u+1}}\). To źle??
Podsumowując, \(\displaystyle{ F(u)= \frac{u}{u+1}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)}\), a więc gęstość mamy o taką: \(\displaystyle{ f(u)= \frac{1}{(u+1)^{2}} \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)}\)

2. Przez podstawienie (czy tam transformację jakąś tam)
- gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) to jak słusznie napisałeś \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{\lambda ^2} e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}}\). Wprowadzam nowe zmienne: \(\displaystyle{ u= \frac{x}{y},v=y}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ x=uv \\ y=v \\J=v>0}\)
Zatem gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (U,V)}\), gdzie \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}, V=Y}\) ma postać
\(\displaystyle{ f(u,v)= \frac{v}{\lambda^{2}}e^{ -\frac{v(1+u)}{\lamda} }\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(v)}\). Całkujemy to po \(\displaystyle{ v}\) i mamy pożądaną gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}}\):
\(\displaystyle{ f_{1}(u)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u) \int_{0}^{+\infty} \frac{v}{\lambda^{2}}e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }\mbox{d}v= [\text{ przez części}]=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u) \frac{1}{(u+1)^{2}}}\)
Całkując przez części, korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dv} \left(- \frac{\lambda}{1+u}e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }\right)=e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }}\)

[Arytmetyk]

Dzięki, za przypomnienie tego drugiego sposobu.

A wcześniej pomyliłem się w zapisie i mi zła gęstość wyszła, ale rzeczywiście jest wszystko w porządku.
Pisząc wcześniejszego posta nie liczyłem na dokładne rozpisanie.

Wielkie dzięki.