Niech \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależne, obie mają rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)
Chcę wyznaczyć gęstość ilorazu, gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}}\)
Znam gęstości przegowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) więc mogę policzyć gęstość wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{\lambda ^2} e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda} }}\)
dla \(\displaystyle{ (x,y)}\) należących do pierwszej ćwiartki ukł. współrz.
Najpierw chcę wyznaczyć dystrybuantę K zm. los. U:
\(\displaystyle{ P(U < u)= P( \frac{X}{Y} < u)= \iint_{D}f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y) : \frac{X}{Y} < u\right\}}\)
Uwzględniając zbiór D i to, że gęstość jest niezerowa w I ćwiartce, zostaje mi do scałkowania taki nieskończony trójkąt.
Teraz przez D oznaczę ten trójkąt.
I w sumie tutaj się pojawia moje pytanie, czy dotąd robię dobrze:
\(\displaystyle{ \iint_{D}f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y= \frac{1}{\lambda ^2} \int_{0}^{ \infty } \int_{x/u}^{ \infty } e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
Gęstość pewnego ilorazu
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Gęstość pewnego ilorazu
Ojej, a od kiedy to rozkład Poissona ma gęstość? Nie miałeś czasem na myśli wykładniczego?
Ale jeśli chodzi Ci o wykładniczy, to wygląda OK. Tylko pamiętaj, że to działa dla \(\displaystyle{ u>0,}\) dla mniejszych oczywiście ta dystrybuanta przyjmuje wartość zero.
Ale jeśli chodzi Ci o wykładniczy, to wygląda OK. Tylko pamiętaj, że to działa dla \(\displaystyle{ u>0,}\) dla mniejszych oczywiście ta dystrybuanta przyjmuje wartość zero.
- Arytmetyk
- Użytkownik
- Posty: 357
- Rejestracja: 14 sty 2014, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 105 razy
- Pomógł: 41 razy
Gęstość pewnego ilorazu
Tak oczywiście chodziło mi o rozkład wykładniczy, jeszcze raz to przeliczyłem i jestem blisko wyniku bo wychodzi mi dystrybuanta \(\displaystyle{ \frac{u}{u+1}}\) ale tego błędu rachunkowego już nie mogę wykryć ; /
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Gęstość pewnego ilorazu
No niestety zepsuła mi się moja kryształowa kula, ci Chinole za bardzo tną koszta. Nie wiem więc, gdzie popełniasz błąd rachunkowy.
Przeliczyłem to na dwa sposoby:
1. Kontynuując Twoją metodą
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda ^2} \int_{0}^{ \infty } \int_{x/u}^{ \infty } e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}} \mbox{d}y \mbox{d}x= \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty}e^{- \frac{x}{\lambda} \cdot \frac{u+1}{u} }\mbox{d}x= \frac{u}{u+1}}\). To źle??
Podsumowując, \(\displaystyle{ F(u)= \frac{u}{u+1}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)}\), a więc gęstość mamy o taką: \(\displaystyle{ f(u)= \frac{1}{(u+1)^{2}} \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)}\)
2. Przez podstawienie (czy tam transformację jakąś tam)
- gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) to jak słusznie napisałeś \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{\lambda ^2} e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}}\). Wprowadzam nowe zmienne: \(\displaystyle{ u= \frac{x}{y},v=y}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ x=uv \\ y=v \\J=v>0}\)
Zatem gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (U,V)}\), gdzie \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}, V=Y}\) ma postać
\(\displaystyle{ f(u,v)= \frac{v}{\lambda^{2}}e^{ -\frac{v(1+u)}{\lamda} }\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(v)}\). Całkujemy to po \(\displaystyle{ v}\) i mamy pożądaną gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}}\):
\(\displaystyle{ f_{1}(u)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u) \int_{0}^{+\infty} \frac{v}{\lambda^{2}}e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }\mbox{d}v= [\text{ przez części}]=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u) \frac{1}{(u+1)^{2}}}\)
Całkując przez części, korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dv} \left(- \frac{\lambda}{1+u}e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }\right)=e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }}\)
Przeliczyłem to na dwa sposoby:
1. Kontynuując Twoją metodą
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda ^2} \int_{0}^{ \infty } \int_{x/u}^{ \infty } e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}} \mbox{d}y \mbox{d}x= \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty}e^{- \frac{x}{\lambda} \cdot \frac{u+1}{u} }\mbox{d}x= \frac{u}{u+1}}\). To źle??
Podsumowując, \(\displaystyle{ F(u)= \frac{u}{u+1}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)}\), a więc gęstość mamy o taką: \(\displaystyle{ f(u)= \frac{1}{(u+1)^{2}} \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)}\)
2. Przez podstawienie (czy tam transformację jakąś tam)
- gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) to jak słusznie napisałeś \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{\lambda ^2} e^{ \frac{\left( -(x+y)\right) }{\lambda}}\). Wprowadzam nowe zmienne: \(\displaystyle{ u= \frac{x}{y},v=y}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ x=uv \\ y=v \\J=v>0}\)
Zatem gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (U,V)}\), gdzie \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}, V=Y}\) ma postać
\(\displaystyle{ f(u,v)= \frac{v}{\lambda^{2}}e^{ -\frac{v(1+u)}{\lamda} }\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u)\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(v)}\). Całkujemy to po \(\displaystyle{ v}\) i mamy pożądaną gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Y}}\):
\(\displaystyle{ f_{1}(u)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u) \int_{0}^{+\infty} \frac{v}{\lambda^{2}}e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }\mbox{d}v= [\text{ przez części}]=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(u) \frac{1}{(u+1)^{2}}}\)
Całkując przez części, korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dv} \left(- \frac{\lambda}{1+u}e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }\right)=e^{- \frac{v(1+u)}{\lambda} }}\)
- Arytmetyk
- Użytkownik
- Posty: 357
- Rejestracja: 14 sty 2014, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 105 razy
- Pomógł: 41 razy
Gęstość pewnego ilorazu
Dzięki, za przypomnienie tego drugiego sposobu.
A wcześniej pomyliłem się w zapisie i mi zła gęstość wyszła, ale rzeczywiście jest wszystko w porządku.
Pisząc wcześniejszego posta nie liczyłem na dokładne rozpisanie.
Wielkie dzięki.
A wcześniej pomyliłem się w zapisie i mi zła gęstość wyszła, ale rzeczywiście jest wszystko w porządku.
Pisząc wcześniejszego posta nie liczyłem na dokładne rozpisanie.
Wielkie dzięki.