Dana niech będzie przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ (\omega,F,P)}\) i ciąg zdarzeń niezależnych \(\displaystyle{ \left\{ A_n\right\}_{n \in N}}\) gdzie \(\displaystyle{ A_n \in F}\) , \(\displaystyle{ P(A_n)=p_n \in (0,1)}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\) Określmy filtrację \(\displaystyle{ F_n=\sigma\left\{ \left( \mathbf{1}_{A_1},...,\mathbf{1}_{A_n}\right) \right\}}\) oraz proces \(\displaystyle{ S_n= \sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{A_i}}\)
1. Oblicz \(\displaystyle{ ES_n}\)
2. Czy proces \(\displaystyle{ Y_n=S_n- \sum_{i=1}^{n} p_i}\) jest martyngałem?
Nie wiem jak się zabrać za pkt 1. W drugim pkt wychodzi mi, że jest martyngałem jeżeli:
\(\displaystyle{ E(\mathbf{1}_{A_n}-p_n|F_{n-1})=0}\) co sprowadza się do \(\displaystyle{ E(\mathbf{1}_{A_n})=E(p_n)}\), tylko nie za bardzo wiem czy tak jest , a jeżeli tak to dlaczego?
Sprawdź czy proces jest martyngałem
Sprawdź czy proces jest martyngałem
1. Zauważ, że
\(\displaystyle{ E[I_{A}]=\int_{\Omega}I_{A}dP=\int_{A}dP=P(A)}\)
2. Mamy sprawdzić m.in warunek: \(\displaystyle{ E[S_{n+1}|F_{n}]=S_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}.}\)
\(\displaystyle{ E[S_{n+1}|F_{n}]=E\left[S_{n+1}- \sum_{i=1}^{n+1} p_i|F_{n} \right]=...}\)
\(\displaystyle{ E[I_{A}]=\int_{\Omega}I_{A}dP=\int_{A}dP=P(A)}\)
2. Mamy sprawdzić m.in warunek: \(\displaystyle{ E[S_{n+1}|F_{n}]=S_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}.}\)
\(\displaystyle{ E[S_{n+1}|F_{n}]=E\left[S_{n+1}- \sum_{i=1}^{n+1} p_i|F_{n} \right]=...}\)