Prawdopodobieństwo geometryczne

[karaoke120]

Alicja przychodzi do restauracji w losowym momencie pomiędzy 18.30
a 19.00. Podobnie postępuje Bob. Podobnie postępuje również Ewa.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Alicja przyjdzie najwcześniej,
następnie przyjdzie Bob, a jako ostatnia przyjdzie Ewa?

Co sama zrobiłam:

\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| =30^3}\)
A- x<y<z, gdy x-Alicja, y-Bob, z-Ewa
Mam problem z \(\displaystyle{ \left| A \right|}\)

[jarek4700]

To trzeba na całkach liczyć..

Miarą przestrzeni zdarzeń jest objętość sześcianu:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{30}\int_{0}^{30}\int_{0}^{30}dadbde}\)

gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest czasem przyjścia Alicji, \(\displaystyle{ b}\) Boba, \(\displaystyle{ e}\) Ewy, liczonym w minutach od godziny 18.30.

Musisz teraz obliczyć objętość odpowiadającą zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\). Jakie granice dobierzesz?

[karaoke120]

Nie możliwe żeby to zadanie było tak skomplikowane bo zadania muszą mieć zbliżony poziom trudności do tych z zajęć.
Wypowie się ktoś inny na temat tego zadania?

[jarek4700]

Jeśli chcesz się ograniczyć do pełnych minut, to:

\(\displaystyle{ |A| = \sum_{a=0}^{28}a\sum_{b=a+1}^{29}b\sum_{e=b+1}^{30}e}\)

Wzór należy czytać tak: Alicja może przyjść kiedy chce, ale nie wcześniej niż o 18.30 i nie później niż o 18.28 bo inaczej nie starczy czasu dla Boba i Ewy. Bob musi przyjść co najmniej minutę później od Alicji ale nie później niż o 18.29 bo nie starczu czasu dla Ewy. Ewa musi przyjść co najmniej minutę później od Boba i nie później niż o 19.00.

\(\displaystyle{ 0}\) odpowiada 18.30, \(\displaystyle{ 30}\) odpowiada 19.00

[karaoke120]

To jest prawdopodobieństwo geometryczne czyli miara A będzie pewnie objętością jakieś figury :/ Tak było w podobnych zadaniach tego typu np. gdy w założeniu wiedziałam że \(\displaystyle{ x+y+z \le}\) 1 to miarą A była objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o bokach długości 1

[jarek4700]

Tak, czyli jednak nie ograniczamy się do pełnych minut. Bryłą będzie ostrosłup o objętości równej jednej szóstej sześcianu, który opisuje omegę, więc pstwo jest \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

Bryłę taką można oczywiście opisać całką, choć w tym wypadku nie jest to konieczne.