procesy stochastyczne

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 18:00

Edit: Mój błąd!

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 18:02

To jest nierówność Holdera

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 18:05

Ok. Nie zauważyłem. Masz rację. To co z tą drugą nierównością?

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 18:09

Zastosowałam nierówność Jensena ale nie jest prawdą, że:

\(\displaystyle{ \sqrt{EX^2_{s}EX^2_{t}} \le \sqrt{(EX_{s})^{2}(EX_{t})^{2}}}\) i tutaj popsułam.

Jest odwrotnie i nie wiem teraz jakby to rozpisać.

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 18:10

Masz jakiś pomysł jak to poprawić?

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 18:13

No właśnie nie... Albo zła kolejność jest, albo hm... nie wiem. Jakaś podpowiedź?

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 18:14

Zauważ, że

\(\displaystyle{ 0 \le (X_{t}-X_{s})^{2}}\)

\(\displaystyle{ 0 \le E\left[ (X_{t}-X_{s})^{2}\right]}\)

\(\displaystyle{ 0 \le E\left[ X_{t}^{2}+X_{s}^{2}-2X_{t}X_{s}\right]}\)

\(\displaystyle{ E[X_{t}X_{s}] \le\frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right)}\)

Zatem pierwszy składnik

\(\displaystyle{ K_{x}(s,t)=E(X_{s}X_{t})-EX_{s}EX_{t}}\)

możesz oszacować korzystając z tego co wyżej napisałem. Co z drugim?

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 18:17

Drugi podniosłabym do kwadratu, a potem Skorzystała z nierówności Jensena w kolejnej nierówności.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right)-EX_{s}EX_{t} \le \frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right)-(EX_{s}EX_{t})^{2}}\)

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 18:20

A może tak

\(\displaystyle{ K_{x}(s,t)=E(X_{s}X_{t})-EX_{s}EX_{t} \le \frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right)+\left| E[X_{t}]\right|\cdot\left| E[X_{s}]\right|}\)

pytanie co dalej?

U Ciebie, jeżeli np. \(\displaystyle{ E[X_{t}]=2}\) i \(\displaystyle{ E[X_{s}]=3}\) to po lewej stronie masz coś \(\displaystyle{ -6}\), a po prawej coś \(\displaystyle{ -36}\). To czy Twoje oszacowanie jest prawdziwe?

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 18:33

\(\displaystyle{ K_{x}(s,t)=E(X_{s}X_{t})-EX_{s}EX_{t} \le \frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right)+\left| E[X_{t}]\right|\cdot\left| E[X_{s}]\right|}\)
\(\displaystyle{ \le \frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right) + \sqrt{EX^{2}_{s}}\sqrt{EX^{2}_{t}}}\)

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 18:42

\(\displaystyle{ K_{x}(s,t)=E(X_{s}X_{t})-EX_{s}EX_{t} \le \frac{1}{2}\left( E\left[ X_{t}^{2}]+E\left[X_{s}^{2}]\right)+\left| E[X_{t}]\right|\cdot\left| E[X_{s}]\right|}\)

\(\displaystyle{ \le \frac{1}{2}\left( E[ X_{t}^{2}]+E[X_{s}^{2}]\right)+E[\left| X_{t}\right| ]\cdot \left| E[\left| X_{s}\right| ]\right|}\)

\(\displaystyle{ \le \frac{1}{2}\left( E[ X_{t}^{2}]+E[X_{s}^{2}]\right)+\sqrt{E[X_{t}^{2} ]}\cdot\sqrt{E[ X_{s}^{2} ]}<+\infty}\)

bo założyłaś, że \(\displaystyle{ E[X^{2}_{t}]<+\infty}\) dla każdego \(\displaystyle{ t\in T}\).

Uwaga 1: \(\displaystyle{ \left| E[X_{t}]\right| \le E[\left| X_{t}\right| ]}\)

Uwaga 2: \(\displaystyle{ E[\left| X_{t}\right| ] \le \sqrt{E[\left| X_{t}\right| ^{2}]}}\)

Uwaga 3: \(\displaystyle{ E[\left| X_{t}\right|^{2} ]=E[X_{t}^{2}]}\)